No.3
- 回答日時:
数学的帰納法自体は理解できていますか?
数学的帰納法のステップとしては、まず、
1)条件が最小のとき成立していることを示す。
これは、n=8 のとき
8=3+5 で、3の倍数と5の倍数の和になっている
ということでOKですね。
2)まず、一般の数において成り立っていると仮定
つまり、n=k (>8) のとき
「3の倍数と5の倍数の和で表現できている」と仮定するわけです。
すなわち、a≧0, b≧0 である整数a,bを使って
k=3a+5b ---(1) と表せる
とできます。
3) 2)を使って、2)の次の数について成り立つことを証明する
つまり、n=k+1 のときについて証明していけばよいわけです。
n=k+1のとき、(1)より、
n=(3a+5b)+1 ---(2) ですね。
ここで、「5の倍数を使わない場合と、5の倍数を使う場合に分けて考える」について考察してみましょう。
5の倍数を使わない場合というのは、(1)で、b=0 のとき
つまり、k=3a のときです。
5の倍数を使う場合は、(1)でb≠0 のときです。
あとは、それぞれについて(2)を検証しましょう。
ここから先は自分で考えてみてください。
ヒントは、
5+1= 6 ⇒ 3の倍数 ということですね。
No.4
- 回答日時:
#3です。
ヒント追加。
> ヒントは、
> 5+1= 6 ⇒ 3の倍数 ということですね。
同じことですが、これを逆にみて
6-1 = 5 ⇒ 5の倍数
ということも使います。
また、k=3a としたとき、
8以上ということから、a≧3 となることも注意しましょう。
No.5
- 回答日時:
「8以上の数」のうち,「5の倍数を使わない場合」というのは,単純にこの数自体が3の倍数になっているときと考えることができますが,これは当然3の倍数だけで表現できますね(そりゃそーだ^^).ということで,「8以上の」そうなっていない数,つまり3で割って1余る数=3N+1(N≧3)と,3で割って2余る数=3N+2(N≧2)において,この場合は明らかに3の倍数だけでは表現できませんね.ということで,この2つの場合に対してさらに「5の倍数を使う」と表現できるそうですが(例えば31=21+10=3*7+5*2など),どう証明しますか?というのが,この問題とそのヒントの内容です.
こうやって分けると結構簡単に証明できます.3Nの場合は明らかなので証明を省略します.3N+1のケースですが,(i)N=3の場合は10=5*2で成立.(ii)N=kにおいて題意が成り立つとして,3k+1=3a+5bとおくことができるとすると,(iii)N=k+1の場合,3(k+1)+1=(3k+3)+1=(3k+1)+3=(3a+5b)+3=3(a+1)+5bよりこの場合も3と5の倍数で書くことができます.
次に3N+2のケースですが,同様に,(i)N=2の場合は8=3+5で成立.(ii)N=kにおいて題意が成り立つとして,3k+2=3a+5bとおくことができるとすると,(iii)N=k+1の場合,3(k+1)+2=(3k+3)+2=(3k+2)+3=(3a+5b)+3=3(a+1)+5bよりこの場合も3と5の倍数で書くことができます.
3N+1,3N+2のようにヒントに従って分けて考えるとどちらのケースも証明の内容はまったく同じですね.
実はこの問題はそれぞれのケースにおいて
・3N=3*N
・3N+1=3(N-2)+10=3*(N-2)+5*2
・3N+2=3(N-1)+5=3*(N-1)+5*1
と直接変形できるので,上のように数学的帰納法を使わなくても証明できます.
この回答へのお礼
お礼日時:2004/06/21 19:20
ありがとうございます。ひゃー、なかなかこういうのは思いつきませんね・・・。
頭がやわらかいと思いつきませんよ・・・。
何はともあれ、詳しくありがとうございます。
No.6ベストアンサー
- 回答日時:
#3です。
#2さんへ
>11以上の数字は全部3^N+α、αは8か9か10であらわされる
このことを使うためには、これはこれで、証明を要すのでは?
#5さんへ
別に、3で割った余りで分ける必要はないと思います。
間違ってはいませんが、かえって複雑にしてませんか?
私のやり方を改めて全部書くと、こうなります。
1) n=8 の場合は、8=3+5 なので「3の倍数と5の倍数の和で表現できる」は成立。
2) n=k(≧9)のとき、
「3の倍数と5の倍数の和で表現できる」が成り立つとすると、
a≧0, b≧0 である整数a,bを使って
k=3a+5b ---(1) と表せる
3) n=k+1のとき
(i) b≧1のとき
k+1 = (3a+5b)+1 = 3a+5(b-1)+5+1 = 3a+6+5(b-1) = 3(a+2)+5(b-1)
よって「3の倍数と5の倍数の和で表現できる」は成立。
(b≧1 なので、a+2>0, b-1≧0 となり、(1)に帰着できる)
(ii) b=0 のとき
(1)は k=3a となる。ここで、k≧9より 3a≧9 ∴a≧3
k+1=3a+1=3(a-3)+9+1 = 3(a-3)+10 = 3(a-3)+5*2
よってこの場合も、「3の倍数と5の倍数の和で表現できる」は成立。
(a≧3なので、a-3≧0 ,2>0 となり、(1)に帰着できる)
(i)(ii)により、b≧0であるすべてのbにおいて、n=k+1が「3の倍数と5の倍数の和で表現できる」は成立。
※ここで、「(1)に帰着できる」というのは、
「a≧0, b≧0 である整数a,bを使って 3a+5bと表せる」
が言えるという意味です。
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