No.7ベストアンサー
- 回答日時:
補足ありがとうございます。
もう他の回答者が充分説明してくださっていますが、ax^2+4x+a>0が成り立つとしたら、y=ax^2+4x+aとして、xy座標上にグラフを書いた場合に、グラフはx軸と交わりません。(グラフは必ずx軸より、y軸の+方向に書かれる事になります)これを満たす為には、グラフが下に凸である事が必要です。(上に凸の場合は、y<0以外では、必ずx軸と交わります)
次に下に凸であっても、ax^2+4x+a=0を満たす実数のxが存在する(ax^2+4x+a=0が実数解を持つ)場合は、グラフはx軸と交わります。(ax^2+4x+a=0が成り立つ)
条件は、ax^2+4x+a>0ですから、ax^2+4x+a=0は条件から外れます。
判別式D<0の場合は、解は複素数なので、実数解を持ちません。 したがって、x軸とは交わらないので、下に凸(a>0)であれば、y=ax^2+4x+aは、必ず0より大きくなります。
No.6
- 回答日時:
y=x^2
y=x^2+1
y=x^2-1
と三本のグラフを描いて下さい。
このうち、すべての実数xに対して、y>0となるのはどれでしょう?
また、y=0の場合、つまり、x^2+1=0のような「二次方程式の解」とグラフの関係は、どうなっているでしょう?
では、二次方程式の解の「判別式」はどうなっていて、何を意味しているのでしょう?
判別式が負であるというのは、その二次方程式の解が、どうなっちゃうことでしょう?
それはグラフがどうなることでしょう?
解るところまで書いてみて下さい。
グラフや図を描かないとダメですよ。お絵描きしないと。
頭の中でだけ考え、数式にぶち込めば良いんだろうなんてやっていると、こんな事すら解らなくなります。
難しいことを、解り易くしてとくんです。解り易くするために、式を変形したり、図やグラフを描いたりするんです。
全部頭の中で処理できる、数学の天才君ならどうか知りませんが、凡人は手を動かさないと、解り易くしてから解かないと。
わざわざ難しいまま解こうとすると、出題者の思うツボです。
No.5
- 回答日時:
a≠0のとき、ax^2+4x+aはxに対する二次関数ですから、
y=ax^2+4x+aのグラフを書いてみましょう。
ax^2+4x+a>0というのは、さきほどのグラフが全てy>0となるようなグラフです。
そのグラフはax^2+4x+a=0となる点を一切もちませんよね。
つまり、不等式ax^2+4x+a>0が成り立つとき、
いかなる実数xに対してもax^2+4x+a=0は成立しない。
言い方を変えれば、ax^2+4x+a=0を成立させるような実数xは存在しない
もっと端的に言うと、実数xに対するax^2+4x+a=0の方程式の解は存在しない。
二次方程式の解が存在しないのは判別式Dが負の時となります。
No.2
- 回答日時:
不等式の条件を満たす為には、ax^2+4x+aのグラフが下に凸で、X軸と交わらない事(y=0で解を持たない)が必要です。
上に凸になるには、a>0が条件となり、ax^2+4x+a=0が実数解を持たないのは、判別式D<0が成り立つときです。
したがって、a>0かつD<0ならば、ax^2+4x+a>0が成り立ちます。
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