つねに成り立つ不等式の問題

aはつねに定数とする。すべての実数xに対して、不等式ax^2+4x+a>0が成り立つようなaの値の範囲を求めよ。

という問題があります。

答えの
「a=0のとき4x>0で不敵」
というところまではわかりました。
ですが、aが0で無い場合、不等式が常に成り立つ条件が
「a>0かつD(判別式)<0」なのですが
ここのところがよくわかりません。

わかる方、どうか回答よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• なんでy=0で解を持たないことが必要なんでしょうか。
  不等号が変わるからでしょうか。
  すみません、その部分の説明をお願いしますm(_ _)m

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/07/21 17:45

No.7 ベストアンサー 回答者： lupan344 回答日時： 2015/07/21 23:52

補足ありがとうございます。

　もう他の回答者が充分説明してくださっていますが、ax^2+4x+a>0が成り立つとしたら、y=ax^2+4x+aとして、xy座標上にグラフを書いた場合に、グラフはx軸と交わりません。（グラフは必ずx軸より、y軸の＋方向に書かれる事になります）
これを満たす為には、グラフが下に凸である事が必要です。（上に凸の場合は、y<0以外では、必ずx軸と交わります）
次に下に凸であっても、ax^2＋4x＋a＝0を満たす実数のxが存在する（ax^2＋4x＋a＝0が実数解を持つ）場合は、グラフはx軸と交わります。（ax^2＋4x＋a＝0が成り立つ）
条件は、ax^2＋4x＋a＞0ですから、ax^2＋4x＋a＝0は条件から外れます。
判別式D<0の場合は、解は複素数なので、実数解を持ちません。　したがって、x軸とは交わらないので、下に凸（a>0）であれば、y=ax^2＋4x＋aは、必ず0より大きくなります。

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2015/07/22 16:59

No.8 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/07/22 15:40

>y=0で解を持たないことが必要なんでしょうか

実数解を持つということはどこかで

ax^2+4x+a = 0

になるということ。

この回答へのお礼

なるほど！
ax^2+4x+a>0が成り立たないとダメですもんね！
ありがとうございました！

お礼日時：2015/07/22 16:56

No.6 回答者： tekcycle 回答日時： 2015/07/21 23:40

ｙ＝ｘ^2

ｙ＝ｘ^2＋１
ｙ＝ｘ^2－１
と三本のグラフを描いて下さい。
このうち、すべての実数xに対して、ｙ＞０となるのはどれでしょう？
また、ｙ＝０の場合、つまり、ｘ^2＋１＝０のような「二次方程式の解」とグラフの関係は、どうなっているでしょう？
では、二次方程式の解の「判別式」はどうなっていて、何を意味しているのでしょう？
判別式が負であるというのは、その二次方程式の解が、どうなっちゃうことでしょう？
それはグラフがどうなることでしょう？
解るところまで書いてみて下さい。
グラフや図を描かないとダメですよ。お絵描きしないと。
頭の中でだけ考え、数式にぶち込めば良いんだろうなんてやっていると、こんな事すら解らなくなります。
難しいことを、解り易くしてとくんです。解り易くするために、式を変形したり、図やグラフを描いたりするんです。
全部頭の中で処理できる、数学の天才君ならどうか知りませんが、凡人は手を動かさないと、解り易くしてから解かないと。
わざわざ難しいまま解こうとすると、出題者の思うツボです。

この回答へのお礼

今後、図を描くことを定着化させたいと思います。
ありがとうございました！

お礼日時：2015/07/22 16:59

No.5 回答者： windwald 回答日時： 2015/07/21 22:57

a≠0のとき、ax^2+4x+aはxに対する二次関数ですから、

y=ax^2+4x+aのグラフを書いてみましょう。
ax^2+4x+a>0というのは、さきほどのグラフが全てy>0となるようなグラフです。
そのグラフはax^2+4x+a=0となる点を一切もちませんよね。

つまり、不等式ax^2+4x+a>0が成り立つとき、
いかなる実数xに対してもax^2+4x+a＝0は成立しない。
言い方を変えれば、ax^2+4x+a＝0を成立させるような実数xは存在しない
もっと端的に言うと、実数xに対するax^2+4x+a=0の方程式の解は存在しない。
二次方程式の解が存在しないのは判別式Dが負の時となります。

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2015/07/22 17:03

No.4 回答者： spring135 回答日時： 2015/07/21 22:06

＞不等式が常に成り立つ条件が

「a>0かつD(判別式)<0」なのですが
ここのところがよくわかりません。

これは2次方程式が全く分からないということにほぼ等価です。

＞なんでy=0で解を持たないことが必要なんでしょうか。

y=0が満たされる点があれば、その前後でｙは正から負へまたは負から正へ符号を変えるということです。

問題は正だけといっているのがわかりませんか。

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2015/07/22 16:54

No.3 回答者： lupan344 回答日時： 2015/07/21 17:11

N0.2の上に凸は、下に凸の間違いです。

正しくは、下に凸になるには、a>0が条件となりです。

No.2 回答者： lupan344 回答日時： 2015/07/21 17:10

不等式の条件を満たす為には、ax^2+4x+aのグラフが下に凸で、X軸と交わらない事（y=0で解を持たない）が必要です。

上に凸になるには、a>0が条件となり、ax^2+4x+a＝0が実数解を持たないのは、判別式D<0が成り立つときです。
したがって、a>0かつD<0ならば、ax^2+4x+a>0が成り立ちます。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/07/21 17:04

「よくわからない」というのは, どの辺が理解できてどの辺が分からないということでしょうか?

例えば a>0 じゃないとまずいということは分かりますか?