２次方程式の問題が分かりません

[1]k>1とする。
2次方程式 kx^2+(1−2k)x−2=0の2つの解をα,βとする。
2次方程式x^2−2(k+1)x+4k=0の解の1つはβであり、もう 1 つの解をγとする。
βを求めよ。

[2]実数xの方程式x^2−(k−1)x−k^2=0とx^2−2kx+k=0がただ1つの共通解を持つとき、kの値を求めよ。
また、それぞれのkに対応する共通解を求めよ。

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この二つの問題の解き方が解答を見ると全く違い困っています。
[1]は普通にたすき掛けで解いているのですが、[2]は二つの式の共通解をαと置いて(ここまでは分かるのですが)そのあとに連立しています。
[1]では[2]と違って、問題の数字的にたまたまたすき掛けが使えたから連立しなかったのでしょうか？
それとも[1]と[2]は全く違う問題なのでしょうか？
詳しい解説お願い致します。

ちなみに

[1]の解答は

β=2

[2]の解答は

k=0のとき共通解x=0
k=1のとき共通解x=1

です。

No.3 回答者： spring135 回答日時： 2015/08/22 10:55

[1]k>1とする。

2次方程式 kx^2+(1−2k)x−2=0の2つの解をα,βとする。
2次方程式x^2−2(k+1)x+4k=0の解の1つはβであり、もう 1 つの解をγとする。
βを求めよ。

[2]実数xの方程式x^2−(k−1)x−k^2=0とx^2−2kx+k=0がただ1つの共通解を持つとき、kの値を求めよ。
また、それぞれのkに対応する共通解を求めよ。


まったく同種の問題です。

ポイントは２つの式を連立するというのは未知数ｘが２つの式を満たす場合だということです。

[1]につぃていえば
kx^2+(1−2k)x−2=0とx^2−2(k+1)x+4k=0を連立した場合はβについては正しいがα,ｙについては成り立たないということです。つまりこの２つを連立した場合は解はβだけということです。もっと直接的に書けば
kβ^2+(1−2k)β−2=0
β^2−2(k+1)β+4k=0
ということです。あとは通常の連立方程式の解き方に従えばよいだけの話です。


[2]につぃていえば
x^2−(k−1)x−k^2=0の解をα,βとすれば
x^2−2kx+k=0の解はβ,γであって、α≠γです。
したがって、この2式を連立してよいのはβに関してであって、
β^2−(k−1)β−k^2=0
β^2−2kβ+k=0
は成り立つということです。あとは通常の連立方程式の解き方に従えばよいだけの話です。
α,γに関しては
α^2−(k−1)α−k^2=0
γ^2−2kγ+k=0
は成り立つが連立のしようがないということです。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2015/08/20 09:41

No.1です。

［１］は、「α」で書いてしまいましたが、問題文との対応だと「β」で書けばよかったですね。結果は同じですが。

時間ができたので［２］も、たすき掛け法でやってみましょう。


　　x^2 - (k - 1)x - k^2 = (x-a)(x-b) = 0　　（A）
　　x^2 - 2kx + k = (x-a)(x-c) = 0　　　　　（B）

とおけば（a が共通根、b≠c ）、a, b, c の条件は

　　a+b = k-1　　　（１）
　　a*b = -k^2　　（２）
　　a+c = 2k　　　（３）
　　a*c = k　　　　（４）

これを整理して、（１）（３）から b, c を a と k で表わして（２）（４）に代入すると、

　　a^2 - (k - 1)a - k^2 = 0　　（５）
　　a^2 - 2ka + k = 0　　　　　（６）

となって、結局「連立法」と同じ式になります。
　つまり、「たすき掛け法」と「連立法」は、等価なものなのです。

（５）-（６）で二乗項を消去すると

　　(k+1)a = k(k+1)

k ≠ -1 のとき（注）

　　a = k　　　（７）

（注：k ＝ -1 のときには、2つの方程式（A）（B）は同一となり、重根ではないので「ただ1つの共通解を持つ」という題意に反するので、k ≠ -1 は成立している。なお、この条件は b≠c と等価である。）

これを（１）に代入して、

　　b = -1

（２）に代入して、

　　-k = -k^2
　　k(k-1) = 0
∴　k = 0 または k = 1　　　（８）


（７）を（３）に代入して、

　　c = k　　　（９）

（４）に代入すると、

　　k^2 = k
　　k(k-1) = 0
∴　k = 0 または k = 1

となって、（８）と同じ結果が得られる。

　従って、「2つの方程式がただ1つの共通解を持つときのkの値」は　k = 0 または k = 1　であり、このときの方程式の解は

　　k=0 のとき　a=0, b=-1, c=0
　　k=1 のとき　a=1, b=-1, c=1

　なお、k=1 のとき方程式（B)は重根を持つが、「ただ1つの共通解を持つ」という題意を満足する。


　こうやってみると、kの条件を求めるには、「連立法」でやった場合でも「たすき掛け法」と同じプロセスを踏まないといけませんね。
　やってみれば、「連立法」も「たすき掛け法」も同じことをやっていることが分かるはずです。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2015/08/19 21:09

疑問に思って困っているなら、やってみればよいでしょう。

　［１］を、共通解αで連立させて解いてみればよい。
　［２］を、因数分解とたすき掛けで解いてみればよい。

　やってみずに、何でこんなところで質問するのですか？

　［１］を、共通解αで連立させて解いてみれば、

　　　kα^2+(1−2k)α−2=0　　（１）
　　　α^2−2(k+1)α+4k=0　　（２）

と連立させて、（１）ー（２）*k をとれば

　　　(2k^2 + 1)α = 4k^2 + 2

となり、2k^2 + 1 ≠ 0 より

　　　α = 2

と求まります。

　［２］も同様にやってみればよいでしょう。