実無限と可能無限の違いを教えて下さい

よく、カントールが考えた、そして、数学者が頭にイメージしている「無限」は、「実無限」と呼ばれ、それに対して、例えば、野矢茂樹氏ら、「哲学者」は（氏の著書『無限論の教室』などに於いて）それを批判し、「可能無限」なら認めよう、みたいなことを主張しておられます。では、「実無限」と「可能無限」、どう違うのでしょうか？どうか、宜しくご教示下さい。

No.6 回答者： pikaruche 回答日時： 2015/09/05 00:30

No5で、加算無限は誤字です。

可算無限として、読んでください。

No.5 回答者： pikaruche 回答日時： 2015/09/04 09:12

有限の操作でえられるものの集まりが、可能無限。

加算無限にあたりますから、有理数の集合が一例。
それに対して、有限の操作でいきつく先も要素として集合として認めると、実数の集合になり、実無限の一つとなります。

実無限は「連続」という直観を定式化できるものと言えましょう。
このようにして、数直線上の点の集まりという、自然な集合が定義できます。

可能無限は加算無限集合ですから、数学で扱う無限集合の一部分となります。数学の一部分として扱えます。（有限回の操作も、数学の一部として扱えます）

なお、哲学者は、実在にこだわりますが、それを言い出すと、1,2,3,,自然数や有限集合だって実在するのっていう話になり、結局わけのわからない話になります。実在だとかいう陳腐な話には、根拠がありませんから、曖昧模糊としています。数学は、そういうわけのわからない「実在」を、相手にしないことによってこそ、客観性を保ちます。

No.4 回答者： x_seek 回答日時： 2015/08/31 00:08

可能無限と実無限は、明確に異なる概念です。

以下、三つの例で説明させて頂きます。

例１：自然数の集合
可能無限では、自然数の集合の要素の個数は、常に有限であり、変化します。
一方、実無限では、自然数の集合の要素の個数は、最初から無限であり、変化しません。

例２：オリンピック
可能無限では、常に次のオリンピックが開催される可能性があります。
一方、実無限では、無限回のオリンピックが、実際に開催されたと考えます。

例３：トムソンのランプ
1秒後にランプをつけます。1/2秒後にランプを消します。1/4秒後にランプをつけます。
1+1/2+1/4+...=2なので、原理的には2秒後に無限回の点滅作業を実行可能です。

可能無限では、無限回の点滅作業を終了できないので有限回にとどまります。
そのため、2秒後のランプはついているか、消えているかのどちらかです。
一方、実無限では、2秒後に無限回の点滅作業が実行されたと考えます。
2秒後のランプは、ついているのでしょうか？それとも消えているのでしょうか？
私には、わかりません。

ご参考として、下記ページを紹介いたします。
・実無限と可能無限
　http://www.geocities.jp/x_seek/quantum_number_th …

No.3 回答者： k_jinen 回答日時： 2015/08/30 08:02

トップダウン的に「無限という言葉で無限という概念を把握したつもりになる」とするのが実無限で、ボトムアップ的に「永遠に操作を繰り返していくと無限に行きつく（かもしれない・・・先はまだまだ続く・・・）」とするのが可能無限。

下記が参考になると思います
数学屋のメガネ
http://blog.livedoor.jp/khideaki/archives/504641 …

No.2 回答者： lupan344 回答日時： 2015/08/29 12:56

用語としての可能無限は、簡単に説明すれば、「ある数より、必ず大きな数が存在する」という状態です。

実無限は、無限という状態を集合として捉えると言う事です。
カントールは、無限集合を分類したと言う事です。（抽象化した無限集合の性質を調べて、分類したわけです）

No.1 回答者： lupan344 回答日時： 2015/08/29 12:50

単なる用語の問題のような気がします。

数学の体系の中で、実無限と言う概念があるだけで、それが実在の無限と言うわけでは無いですからね。
哲学者の場合は、実在の確実性が保証される条件が満たされなければ、それが実在するとは言えないという立場ですから、哲学用語としては、実無限は存在が保証されていないと言う事でしょう。
つまり、そのような物が存在しないとは言えないが、実在の確実性が保証されない以上、それは可能性しか語れないと言う事でしょう。（これは一例であり、哲学者によって実無限の否定の立場もあり、いろいろな立場があります）
実無限というひとくくりに出来る概念に対しては、いろいろ批判があると言う事です。
一例としては、無限に増大する数と言う概念があっても、それが一つの状態として定まる事は、論理の飛躍を伴います。
カントールにしても、それを数学的に分類したわけですから、特定の公理系の中での結論と言えます。
簡単に言えば、実無限（カントールの公準）とでも表記すれば、哲学者も批判はしないはずですよ。
一般的な言葉で表現するから、批判の対象になるわけです。
これは、言語論や方法論の問題のような気もします。
数学者の実無限≠哲学者の実無限
一見同じものを扱っているようで、実際は違うものを扱っていたり、それが満たすべき公準に違いがあれば、それぞれの論理的帰結が一致しないのは、ある意味自明です。（もちろん、一致する可能性もあります）