確率密度関数の四則演算

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/8571563.html

このページで二つの独立した確率密度関数の
足し算と掛け算の確率密度関数に関してご回答いただいたのですが

x + y の確率密度関数が二等辺三角形

x × y の確率密度関数が-ln(t)

になるのはどういう計算を行っているのでしょうか？

検索しても調べてみたのですが
解説ページが見つかりませんでした。
解説ページなどあれば教えてください。

質問者からの補足コメント

• 分かりやすい方法と簡単な方法を教えていただけないでしょうか？
  
  よろしくお願いいたします。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/09/02 20:37

No.4 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2015/09/04 12:12

かのご質問ではコタエばかりが求められており、かつ、あんまり適切な回答がないようなので、結果だけをカキコしたのでしたが、こりゃ、セキニンとらんといかんですかね。

　正規分布を日常的に使っているくせに、意味がよく分かってない人がちょいちょいいます。「平均0、分散1の正規分布に従う確率変数pがp=0となる確率P(0)は？」と尋ねてみると分かってるかどうかがテストできます。P(0)=0と正しく答えられるかどうか。
　もし、あれれ? となる場合には[1]から、そんなの分かってると仰るのなら[2]からどうぞ。

[1] 「確率変数xが確率密度関数φ(x)に従う」とは、Δaがうんと小さい正の実数のとき、mΔa≦x＜(m+1)Δa（すなわちx∈[mΔa,(m+1)Δa)）となる確率をP(x∈[mΔa,(m+1)Δa))と書くと
　　lim[Δa→0] P(x∈[mΔa,(m+1)Δa))= φ(mΔa)Δa
だってことです。特にxが一様分布φ1(x)に従うのであれば、
　　lim[Δa→0] P(x∈[mΔa,(m+1)Δa))= φ1(mΔa)Δa
である。
　さて、x∈[mΔa,(m+1)Δa)であるとします。このとき、z=x+yの分布はどうなるか。ただしyがφ1(y)に従い、しかもyはxとは独立である。簡単ですね。y=z-aなのだから、もちろんzは φ1(z-mΔa)に従う。
　言い換えれば、x∈[mΔa,(m+1)Δa)であって、Δbがうんと小さい正の実数のとき、nΔb≦z＜(n+1)Δbとなる条件付き確率は
　　P(z∈[nΔb,(n+1)Δb) | x∈[mΔa,(m+1)Δa)) = φ1(nΔb-mΔa)Δb
です。だからz∈[nΔb,(n+1)Δb)となる確率は
　　P(z∈[nΔb,(n+1)Δb)) = lim [Δa→0] Σ{n=-∞〜∞} P(z∈[nΔb,(n+1)Δb) | x∈[mΔa,(m+1)Δa)) P(x∈[nΔa,(n+1)Δa))
　　　= lim [Δa→0] Σ{n=-∞〜∞} φ1(nΔb-mΔa)Δb φ1(nΔa)Δa
　　　= ∫{a=-∞〜∞} φ1(nΔb-a)Δbφ1(a) da
と書ける。zが従う確率密度関数をφa(z)とすると、
　　lim[Δb→0] P(z∈[nΔb,(n+1)Δb)) = φa(nΔb)Δb
なので、
　　lim[Δb→0] (φa(nΔb) - P(z∈[nΔb,(n+1)Δb))/Δb )= 0
つまり
　　φa(b) - ∫{a=-∞〜∞} φ1(b-a)φ1(a) da
ここでbをz, aをxに書き換えてみると
　　φa(z) = ∫{x=-∞〜∞} φ1(z-x)φ1(x) dx
となります。

[2] 一般に、
　　 (f＊g)(z) = ∫{x=-∞〜∞} f(z-x)g(x) dx
を 「fとgの畳み込み(convolution)」と呼びます。
　なお、(f＊g) = (g＊f) が成り立つことは容易に証明できます。畳み込みは信号処理・画像処理における「フィルター」、制御工学における「伝達関数」の作用を表すのにも使われる、とても重要な概念です。
　これを使って、

定理：「確率密度関数f(x)に従うxと、xとは独立で確率密度関数g(y)に従うyについて、z=x+yは確率密度関数(f＊g)(z)に従う」
　（これは、上記[1]の計算をfとgを使ってやり直してみれば証明できるでしょ。)

[3]　では、確率密度関数f(x)に従うxと、xとは独立で確率密度関数g(y)に従うyについて、t=xyはどんな確率密度関数に従うか。
　t=xyの両辺の対数をとって
　　ln(t) = ln(x) + ln(y)
とし、ln(t), ln(x), ln(y)をそれぞれ T, X, Yという確率密度関数だと考えれば、「確率密度関数f(X)に従うXと、Xとは独立で確率密度関数g(Y)に従うYについて、T=X+Yは確率密度関数(f＊g)(T)に従う」わけです。
　xがφ1(x)に従うとき、X = ln(x)がどんな確率密度関数fに従うか。これは簡単でしょうからご自分で。Tが従う確率密度関数は(f＊f)(T)です。あとは t = exp(T) がどんな確率密度関数に従うか、という問題を解けば、おしまいです。

　「分かりやすい」をお求めですけど、すらすら行かない場合でも、少なくとも2〜3日ぐらいは粘ってみて下さいな。七転八倒することが地力を付けること。こんなの慣れちまえば鎧袖一触です。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/09/03 23:57

足し算に対して, どうして畳み込みをすればいいか理解できていますか?

理解できているなら, 掛け算についても「同様のこと」 (not 「同じこと」) をすればできるとわかるはず.

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/09/02 23:37

単純に, 分布関数を求めて微分するだけです.

この回答へのお礼

足し算の方はたたみ込み積分を使えば良いことが分かったのですが
掛け算の方はどうやれば良いですか？

お礼日時：2015/09/03 16:03

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/09/02 17:11

やり方はいろいろある. 回り道をしていいなら分布関数を経由するのが分かりやすいかもしれん.