No.1
- 回答日時:
正規分布する変量の比は、コーシー-ローレンツ分布の名で知られています。
有名な分布で、その密度関数、累積分布関数は、どこそこに掲載されていますから、
Wikipedia でも見てください。この分布は、分散が発散してしまいます。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
> きゅうりとトマトの重さの比
きゅうりやトマトの重さは、あきらかに正規分布に従わない。正規分布は裾野が無限に広がっているのだけれども、0 グラムより軽いきゅうりはないから。
それはさておき、確率変数x, yが独立で、xの確率密度関数がξ(x)、yの確率密度関数がυ(y)だとすると、
z = x / y
の確率密度関数ζは
ζ(z) = ∫{-∞~∞} ξ(yz)υ(y) dy (∫{-∞〜∞} は「-∞から∞までの定積分」という意味)
となるでしょ。ご質問はξとυが正規分布
ξ(x) = K exp(-(x-mX)^2 / (2 sX^2))
υ(y) = L exp(-(y-mY)^2 / (2 sY^2)) (K, Lは定数)
の場合なので、
ζ(z) = K L ∫{-∞~∞} exp(-((yz-mX)^2)/(2sX^2) - ((y-mY)^2)/(2sY^2))dy
ということ。この式のexpの中身はyの2次式 (-a y^2 + b y + c) なので a>0のときに限りこの積分は収束し、
ζ(z) = K L (π/a) exp( c + (b^2)/(4a) )
となる。
a = (z^2)/(2sX^2) - 1/(2sY^2)
b = z mX/(sX^2) + mY/(sY^2)
c = - (mX^2)/(2sX^2) - (mY^2)/(2sY^2)
だから、a>0となる必要十分条件は
|z| > sX /sY
つまり、
|z| ≦ sX /sY
の場合にはζ(z)が発散するな。
回答ありがとうございます
最後の|z| > sX /sYのあたりがちょっとわからないのですが
標準偏差がxとyの分布で同じとした場合
|z|>1のときに発散しないということでしょうか
このときのzはどちらを表しますか
z = x / yのzでしょうか
その場合はxとyは変動するのでこのzも変動しますが
|z|>1の範囲のzだけ確率が求められるということでしょうか
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もう1つ質問したいことがありまして
No.1の返信にあるコーシー-ローレンツ分布と、
z=x/yの分布は関連しますか