微積分学

この問題が分かりません(;_;)
次の各2変数関数f(x,y)と与えられた点P,Qの組について、次の文章中のa,b,....(太字アルファベット小文字が用いられてる部分)に当てはまる数を答えて文章を完成させよ。

曲面 z=f(x,y)について、点Pに対応する曲面上の点(x0,y0,f(x0,y0))における接平面は、方程式 z=a(x-p)+b(y-p)+c で表される。また式変形して、方程式 z=kx+ly+m でも表せる。この結果を利用して計算することで、点Q(x1,x2)における関数値f(x1,y1)の一次近似の値はdであることがわかる。

(1) f(x,y)=x^2 - 2xy + 3y^2; P(3,2); Q(3.01,2.02)
(2) f(x,y)=x^3 - 3xy + y^3; P(1,2); Q(1.002,1.997)
(3) f(x,y)=3x^2y + xy; P(1,-1); Q(1.003,-0.998)
(4) f(x,y)=x^2/2^2 + y^2/3^2; P(2,-3); Q(2.001,-3.002)
(5) f(x,y)=x/(x+y); P(-2,1); Q(-2.001,1.002)
(6) f(x,y)=tan^(-1)(y/x) + π/4; P(1,-1); Q(0.999,-0.998)

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2015/10/25 01:04

平面の方程式をx,yの関数z(x,y)だと思えば、zをxとyでそれぞれ偏微分してみれば、x軸方向の傾きは

　　(∂z/∂x)(x,y) = a
y軸方向の傾きは
　　(∂z/∂y)(x,y) = b
であることが分かる。で、これが曲面z=f(x,y)と(x0,y0)において接しているんだから、f(x,y)の傾き（すなわち、f(x,y)をxとyでそれぞれ偏微分したもの）と、x=x0, y=y0の点では一致していなくてはならない。つまり、
　　(∂f/∂x)(x0,y0) = (∂z/∂x)(x0,y0) = a
　　(∂f/∂y)(x0,y0) = (∂z/∂y)(x0,y0) = b
である。それにもちろん、
　　z(x0,y0)=f(x0,y0)
でなくてはならない。
　以上をまとめると、
　　z(x,y) = ((∂f/∂x)(x0,y0))(x-x0)+((∂f/∂y)(x0,y0))(y-y0)+f(x0,y0)
ということ。

　この式に、(1)の場合なら
　　(∂f/∂x)(x,y) = 2x-2y, (∂f/∂x)(x,y) = -2x+6y
を代入してから、
　　(x0,y0)=P=(3,2)
を代入する（つまりx0=3, y0=2を代入する）だけ。
　Qにおける一次近似の値は、さらに
　　(x,y) = Q = (3.01, 2.02)
を代入してz(x,y)を計算するだけ。

　(2)以下も全く同様で、単に偏微分の計算をするだけだ。が、できないのなら、そりゃサボり過ぎ。

この回答へのお礼

ありがとうございますm(_ _)m
返す言葉もございません_|￣|○

お礼日時：2015/10/28 03:15