ヘルムホルツの定理（修正版）

ヘルムホルツの定理によれば、任意のベクトル場は回転なしの場と発散なしの場に分解できるといいます。
ただし、このヘルムホルツの定理では回転なしの場、発散なしの場といずれも否定形「なし」で表現されているところが面白くありませんね。
そこでこれを正規形表現「あり」に変えて、「任意のベクトル場は回転場と発散場と一様速度場に分解できる」と修正可能でしょうか。
V(r)=R(r)+D(r)+C(r)
ただし、
V(r):任意のベクトル場
R(r):完全な回転ベクトル場
D(r):完全な発散ベクトル場
C(r):一様な速度ベクトル場

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/10/28 20:58

>完全な回転ベクトル場　→　R(r)=∇✕V(r)　

>完全な発散ベクトル場　→　D(r)=∇(∇・V(r))
>一様な速度ベクトル場　→　C(r)=V(r) - R(r) - D(r)

いや、こんな思い付きじゃ無意味ですよ。
やってみるまでもないですが、

例: V(r)=(y,0,0)
R(r)=(0,0,-1)
D(r)=(0,0,0)
C(r)=V(r)-R(r)-D(r)=(y,0,1)


しっちゃかめっちゃかでしょ？

これはヘルムホルツ定理とはとはなんの関係もないです。

そもそも rotやgradは回転や勾配を求めるもので、
回転のあるベクトル場や発散の有るベクトル場を作るものでは
ありません。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/10/28 19:54

>完全な回転ベクトル場　→　∇✕V(r)　

>完全な発散ベクトル場　→　∇(∇・V(r))

V(r)=R(r)+D(r)+C(r) がなりたたないので
却下。

この回答へのお礼

完全な回転ベクトル場　→　R(r)=∇✕V(r)　
完全な発散ベクトル場　→　D(r)=∇(∇・V(r))
一様な速度ベクトル場　→　C(r)=V(r) - R(r) - D(r)

V(r)=R(r)+D(r)+C(r)

お礼日時：2015/10/28 20:26

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/10/28 17:50

で「完全な回転ベクトル場」とか「完全な発散ベクトル場」とかをあなたはどう定義しているのですか?

この回答へのお礼

任意のベクトル場V(r)に対し、
完全な回転ベクトル場　→　∇✕V(r)　
完全な発散ベクトル場　→　∇(∇・V(r))

お礼日時：2015/10/28 18:06

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/10/28 13:25

Rは発散なし、Dは回転無し ということなんですよね。

RとDで無回転かつ無発散が表現できなくて、
別の場が必要になるのはとても醜いです。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/10/28 11:04

それをするなら

・完全な回転ベクトル場
・完全な発散ベクトル場
・一様な速度ベクトル場
とやらをまず定義しないとだめだね.

この回答へのお礼

やっぱり。

お礼日時：2015/10/28 11:35