領域内に電荷がない場合、静電ポテンシャルΦは∇•∇Φ=0の式を満たしますよね。Φを球座標表示したとき

領域内に電荷がない場合、静電ポテンシャルΦは∇•∇Φ=0の式を満たしますよね。Φを球座標表示したとき、このラプラス方程式を変数分離法で解く方法を教えて下さい。境界条件が無限遠で0だとか、よく分かりませんm(__)m

No.1 回答者： Ae610 回答日時： 2016/05/24 21:17

少し進んだ電磁気学の本には記述されているものもあるかとは思うが・・!?

ラプラス演算子Δを極座標(r,θ,ψ)で表すと
Δ = (1/r^2)・∂/∂r{(r^2∂Φ/∂r)}＋(1/(r^2・sinθ))・∂/∂θ{sinθ・∂Φ/∂θ}
＋(1/(r^2・sin^2θ))・∂^2/∂ψ^2＝ 0・・・①

R(r)：rのみの関数　Θ(θ)：θのみの関数　Ψ(ψ)：ψのみの関数とし、
Φ = R(r)Θ(θ)Ψ(ψ)・・・②
の形を仮定して解を求める。
②を①の方程式に代入して演算子に従って計算し求めると
sin^2(θ){(1/R)・d/dr(r^2・dR/dr)＋(1/Θ)・(1/sinθ)・d/dθ(sinθdΘ/dθ)}
＝－(1/Ψ)・d^2Ψ/dψ^2・・・③

③の左辺はrとθの関数、右辺はψの関数であり、それらが等しくなるためにはr,θ,ψによらない常数でなければならない。
それを便宜上m^2とおく。
sin^2(θ){(1/R)・d/dr(r^2・dR/dr)＋(1/Θ)・(1/sinθ)・d/dθ(sinθdΘ/dθ)} = m^2・・・④
③は
d^2Ψ/dψ^2＋m^2・Ψ = 0・・・(a)

また④を移項整理し変形すると
(1/R)・d/dr(r^2・dR/dr) = -(1/Θ)・(1/sinθ)・d/dθ(sinθdΘ/dθ) + m^2/sin^2(θ)・・・⑤
⑤の左辺はrの関数、右辺はθの関数であり、それらが等しくなるためにはr,θによらない常数でなければならない。
それをn(n+1)とおくと⑤は
(1/R)・d/dr(r^2・dR/dr) = n(n+1)・・・(b)
および
(1/sinθ)・d/dθ(sinθdΘ/dθ) +{n(n+1) - m^2/sin^2(θ)}Θ= 0・・・(c)
(a),(b),(c)の微分方程式を解くことによりΦ = R(r)Θ(θ)Ψ(ψ)を求めることが出来る・・!

(a)から
Ψ(ψ) = c[m]・cos(mψ) + d[m]・sin(mψ)　((c[m] , d[m]はmに関係する常数))

(b)から
R(r) = α[n]・r^n + β[n]/r^(n+1)　(α[n] , β[n]はnに関係する常数)

(c)から
cosθ = xとおいて変数をθからxに変換すると
d/dx{(1-x^2)dΘ/dx} + {n(n+1) - m^2/(1-x^2)}Θ= 0・・・(d)
(d)はルジャンドルの陪微分方程式であるから解としてルジャンドル陪関数Ｐ_n[m](cosθ)が得られ
Θ(θ) = Ｐ_n[m](cosθ)

これらよりΦの一般解は
Φ = ΣΣ{(α[n]・r^n + β[n]/r^(n+1))・(c[m]・cos(mψ) + d[m]・sin(mψ))・Ｐ_n[m](cosθ)}
　（ΣΣはnおよびmについての総和を表すものとする）

この回答へのお礼

丁寧なご回答ありがとうございます。ただ、球対称を使ってラプラシアンをもっと簡単にできると聞いたのですが…~_~;
僕もよく分からないですf^_^;

お礼日時：2016/05/24 22:10

No.2 回答者： Ae610 回答日時： 2016/05/26 18:30

如何やらNo.1で回答した事自体・・、

”豚に真珠”・・!!
だった様だ・・!

ANo.1で回答した内容は全て忘れてくれ・・!
(迷惑だろうから、もう二度と質問者に回答することは無いので安心してくれ・・!!)

この回答へのお礼

無学ですみませんm(__)m

お礼日時：2016/05/26 18:54