展開と因数分解の利用について

ご質問させていただきます。

添付図の問題にて、解答の後半部分で【－３・a・1/a (a + 1/a)】が出てくる理由が分かりません。

どなたか教えていただけると幸いです。

No.4 ベストアンサー 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2016/05/25 20:03

a + 1/a = √7 のとき・・と書かれているので、とりあえず、

a³ + 1/a³ すなわち、a³ + (1/a)³ ですね。
一方、
a + 1/a の値はわかっているので
(a + 1/a)を三乗してみます。
(a + (1/a))³
= (a + (1/a))(a + (1/a))(a + (1/a))
　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
= 　(a² + 2 + (1/a)²)(a + (1/a)
= a³ + 2a + 1/a + a + 2/a + (1/a)³
= a³ + 3a + 3/a + (1/a)³
ここまでは、普通に展開しただけですね。
並べ替えて--交換則--
= a³ + (1/a)³ + 3a + 3/a
　￣￣￣￣￣￣を求めたいのですから・・

すなわち、
(a + (1/a))³ = a³ + (1/a)³ + 3a + 3/a
　　　　　　　￣￣￣￣￣￣を知りたい。なら移項して
a³ + (1/a)³ = (a + (1/a))³ - 3a - 3/a　　　-3で括る(結合則)
　　　　　　= (a + (1/a))³ - 3(a + 1/a)　　aでくくる
ここまででよいのだけれども・・・
　　　　　　= (a + (1/a))³ - 3a(1 + 1/a²)　1/aでくくる。
　　　　　　= (a + (1/a))³ - 3a(1/a)(a + 1/a)

a³ + (1/a)³ = (a + (1/a))³ - 3(a + 1/a)
　　　　　　= (√7 )³ - 3(√7 )
　　　　　　= 7√7 - 3√7
　　　　　　= (7 - 3)√7
　　　　　　= 4√7
なにか、3a(1/a)(a + 1/a)ってとてつもなく無駄をしているような(^^)

この回答へのお礼

ご回答、ありがとうございます。

参考にさせて頂きます。

お礼日時：2016/05/26 01:39

No.3 回答者： むらさめ 回答日時： 2016/05/25 17:58

問題に、a+1/a=√7という値が与えられている。

a^3+1/(a^3)の値を求めたい。
(a+1/a)を3乗してみると、a^3と1/(a^3)が出るだろう。
計算してみると、
(a+1/a)^3=a^3+3a+3/a+1/(a^3)
これを求める　a^3+1/(a^3)　に関して移項すると
a^3+1/(a^3)=(a+1/a)^3-(3a+3/a)
=(a+1/a)^3-3(a+1/a)
=(√7)^3-3√7=4√7

a･1/aの部分がどうして出たのか判りませんが、上のように考えても答えが出ますね。

この回答へのお礼

ご回答、ありがとうございます。

参考にさせて頂きます。

お礼日時：2016/05/26 01:39

No.2 回答者： 北のトラさん 回答日時： 2016/05/25 17:56

二項の三乗公式から、

(a+b)^3 =a^3+3a^2b+3ab^2+b^3　を変形して　(a+b)^3 = a^3　+　b^3 +　3ab(a+b) から

+　3ab(a+b) を移項して、左右を変えると

a^3　+　b^3　＝(a+b)^3－3ab(a+b)　　となり、

本問では　ａ＝ａ　　ｂ＝１／ａ　と置き換える。

参考までに。

この回答へのお礼

ご回答、ありがとうございます。

参考にさせて頂きます。

お礼日時：2016/05/26 01:39

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/05/25 17:45

前半の (a+1/a)^3 を展開して a^3+1/a^3 と比較せよ.

この回答へのお礼

ご回答、ありがとうございます。

参考にさせて頂きます。

お礼日時：2016/05/26 01:38