無限和について。

画像の１、２を解いていただきたいです。よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 

  1の式の、sinの隣にある・は気にしないでください。癖です。

    補足日時：2016/08/24 18:04

• 宿題じゃないです。ってか高校でこんなのやりません。

    補足日時：2016/08/24 18:21

No.3 ベストアンサー 回答者： tumagie 回答日時： 2016/08/25 14:24

自分の勉強のつもりで調べながら解いたのでどこかに間違いがあったらすみません.

(2) のみ:

|z|≦1, z≠1 なる複素数 z に対し
Σ_[k=1,∞] z^k/k = -log(1-z)
(∵ Taylor 展開により |z|<1 では等式成立. z≠1 かつ |z|=1 のとき, 数列 {1/k} が 0 に収束する単調減少数列であることから, https://en.wikipedia.org/wiki/Abel%27s_test の Abel's test in complex analysis により左辺は収束する. すると https://en.wikipedia.org/wiki/Abel%27s_theorem を用いて z≠1 かつ |z|=1 においても等式が成立することがいえる.)
とくに, 正整数 n に対し z=e^(πi/n) とすれば
Σ_[k=1,∞] e^(kπi/n)/k = -log(1-e^(πi/n))
等式の虚部を比較することで
Σ_[k=1,∞] sin(kπ/n)/k = -Arg(1-e^(πi/n)) = π(1-1/n)/2

#どこにも宿題と書いてすらいないのに宿題なら自分で解くべきだという回答が来たら普通はびっくりすると思います….

この回答へのお礼

なるほどです！ 夏休み前に友人と数学で遊んでいた時にこの式を見つけて、ずっとこの式のまま解けずにもやもやしていたんです。助かりました！
これを参考にして、あとは自分で、分からないところの証明をしながらこれを解き直していきたいと思います。

お礼日時：2016/08/25 18:52

No.4 回答者： tumagie 回答日時： 2016/08/25 14:36

なお, θ = π/n とすると,

sin(θ)/(1-cos(θ)) = 2*sin(θ/2)*cos(θ/2) / 2sin^2(θ/2) = cos(θ/2) / sin(θ/2) = 1/tan(θ/2) = tan(π/2-θ/2)
ですから, 両辺の値に Arctan を作用させることにより,
Arctan{sin(θ)/[1-cos(θ)]} = π/2-θ/2
となるので, No.2 と No.3 の結果は一致しています.

No.2 回答者： siegmund 回答日時： 2016/08/25 14:14

念のためですが，わからないので質問なのですよね．

解いてみろ！goo じゃないですよね．

(1)　　S_1 = Σ_{n=1}^∞ {sin(nπ/3)/n} = Im Σ_{n=1}^∞ {e^(nπi/3)/n}
はちょうど
(2)　　-log{1-e^(nπi/3)/n}
のテーラー展開になっていますので，
(3)　　S_1 = -Im log{1-e^(nπi/3)/n} = Arctan{sin(π/3)/[1-cos(π/3)]} = π/3
ですね．

同様にして
(4)　　S = Σ_{k=1}^∞ {sin(kπ/n)/n} = Arctan{sin(π/n)/[1-cos(π/n)]}
が求められます．
こちらは一般の n に対してはこれ以上は簡単にならないでしょう．

> 宿題じゃないです。ってか高校でこんなのやりません。

どこにも高校なんとかとは書いていないので，そういうこと書かれても困っちゃいますよ．
宿題は大学でもあります．

No.1 回答者： mak-nak 回答日時： 2016/08/24 18:17

宿題ならば自分で解いてください。