ベクトルです平行六面体の底面積は|a×b|であるとありますが なぜでしょうか？

ベクトルです平行六面体の底面積は|a×b|であるとありますが
なぜでしょうか？

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/09/17 21:23

地道に計算するだけで解けますよ。

a=(x, y, z)
b=(p , q, r)

とすると、a・b=|a||b|cosθ　を使えば(θは a と b がなす角)

|a||b||sinθ|=|a||b|√(1-(cosθ)^2)
=√(|a|^2|b|^2-(|a||b|cosθ)^2) = √(|a|^2|b|^2-(a・b)^2)
=√{(x^2+y^2+z^2)(p^2+q^2+r^2) - (xp+yq+zr)^2}
=√{(yr-zq)^2+(xr-zp)^2+(xq-yp)^2}=|aXb|

ちなみに、 a・b=|a||b|cosθ　はここを見れば分かります。
角度の加法定理をちょっぴり使うだけで簡単に出てきます。

http://www.nakamuri.info/mw/index.php/2%E6%AC%A1 …

No.2 回答者： tekcycle 回答日時： 2016/09/16 22:48

外積に手を出すくらいだったら自分でサクサク証明できないと。

ｘｙ平面上で、ｘ軸の一部をベクトルａとして、ｘ軸に対して原点でθの角度で交わる直線を考え、その一部をベクトルｂとするとどうなるか、まず平行四辺形の面積を計算し、次に外積を計算してみれば良いでしょう。
厳密な証明にはならないかもしれませんが、普通の図形を扱うくらいならこれで十分でしょう。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2016/09/16 17:03

ベクトルの外積ってご存知ですか？　ご存じでなければ勉強してください。

「なぜ」って、そういう定義ですから。
外積はベクトルなのですが、その絶対値は

　|→a × →b| = |→a|*|→b|*sin(φ)

となります。（φ は→a と →b が成す角）
ベクトルの方向は、図にもあるように、→a、→b が作る平面に直角です。