f(x)＝x^2-4x+3,g(x)＝2x^2-ax＋a-1がある aは定数 (1) f(x)＜0を

f(x)＝x^2-4x+3,g(x)＝2x^2-ax＋a-1がある
aは定数
(1) f(x)＜0を解け
(2)g(x)のグラフがx軸と異なる2点で交わるaの範囲を求めよ
(3)g(x)のグラフが(1)で求めたxの範囲において、x軸と異なる2点で交わるようなaの範囲を求めよ

3番お願いします

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2016/10/27 01:06

（１）単純に解けばよい。

二次不等式の普通の問題。
　x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) < 0
だから
　1 < x < 3 　　①

（２）これは二次方程式 g(x)=0 の「判別式」を使う。
　D = a^2 - 8(a - 1) > 0
解けるよね？　（１）ができないなら、これも無理か？
　a^2 - 8a + 8 > 0
　(a - 4)^2 - 8 > 0
　(a - 4)^2 > 8
　a - 4 < -2√2 または 2√2 < a - 4
よって
　a < 4 - 2√2 または 4 + 2√2 < a 　　　②

これは、（３）でも使う「平方完成」
　　g(x) = 2(x - a/4)^2 - a^2 /8 + a - 1
で、頂点が (a/4, -a^2 /8 + a - 1) になることが分かるので、「頂点がx軸よりも下にある」というのと同じ条件である。

（３）これは
　g(x) = 2(x - a/4)^2 - a^2 /8 + a - 1
なので、頂点が (a/4, -a^2 /8 + a - 1) で、下に凸（上に開く）の放物線である。

　よって、x軸と異なる2点で交わるためには
・頂点が①の範囲内にあり、　　←1 < a/4 < 3
・頂点がｘ軸の下にあり、　　← -a^2 /8 + a - 1 < 0
かつ①の両端で
・g(x)>0　　　　　　　　　　←　g(1)>0, g(3)>0
であればよい。
　どうしてこれでよいのかは、グラフを見ればわかる。

・頂点が①の範囲内にあるためには
　　1 < a/4 < 3
よって
　　4 < a < 12　　　　③
これは②を満たす。

・g(1)>0, g(3)>0 になるためには
　　g(1)＝ 2 - a＋ a - 1 = 1 > 0
　　g(3)＝ 18 - 3a＋ a - 1 = -2a + 17 > 0
より
　　a < 17/2　　　　④

③④の共通範囲から
　　4 < a < 17/2

馬鹿正直に、g(x)=0 の二次方程式の一般解を求め、それが（１）の範囲内になる不等式を解いてもよい。ちょっと面倒だけれど。