数学II 微分の最大値、最小値の問題

数学II
微分の最大値、最小値の問題

関数 f(x)=x^3 - 3a^2x (0≦x≦1)の最大値と最小値、およびそのときのxの値を次の各場合について求めよ。
ただし、aは定数とする。
（１）0<a<1
（1≦a）

この問題で、最初からaについて場合分けされていますが、この中でもさらに場合分けしないといけませんよね?
でもその場合分けが分からないです。

aを正の定数とする。三次関数f(x)=x^3 - 2ax^2 + a^2x の 0≦x≦1における最大値M(a)を求めよ。
この問題も、どういう場合分けをすればいいのかわかりません。

教えてください。

No.4 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2011/06/10 19:01

グラフが a によって変化すると、考えにくいです。

a = 1 のときの f(x) を F(x) と置くと、
f(x) = (aの3乗)F(x/a) となりますね。
a が動くとき、f が変化するのではなく、
F は固定で x/a の変域が変化するのだと思えば、
a で場合分けして考えるというよりも、
F のグラフを見て変域を区切ってゆくと
自然に場合分けが現れる感じになります。

この回答へのお礼

皆様回答ありがとうございました。

お礼日時：2011/07/28 01:38

No.3 回答者： KEIS050162 回答日時： 2011/06/10 17:46

＃２です。

失礼しました。
ｆ（ｘ）　＝　ｘ＾３　－　３ａ＾２ｘ　の解がとんでもなく間違ってました。

解は　ｘ　＝　０、　－√３ａ、√３ａ　でしたね。

この回答への補足

すみません。
こちらも勘違いというか、何が分からないのかを書くのを忘れてました。
質問の問題（１）の場合で、微分した式を0にするxは
x=aとx=-aですが、a>0なので、-aは範囲に入ってこないですよね?

しかし、（２）の問題の場合、微分した式を0にするxは
x=a/3とx=aです。
aは正の定数で、0≦x≦1なので、どちらも範囲に入ってくる場合もあります。
この時の場合分けが分かりません。
最初に考えたのは
1・・・a/3とaが両方0≦x≦1の中
2・・・aだけxより大きい
3・・・a/3とaが両方1より大きい
で分けて考えようとしましたが
青チャートの解説には「x=a/3以外にf(x)=f(a/3)を満たすxがあることに注意が必要」とありました。
つまり、自分が最初に考えた場合分けでは不十分ということだと思います。

解説に書いてあるのがよくわからないので、ここで質問させていただきます。
（２）の問題の場合、私の場合分けでダメなところ、不十分なところがどこなのかを教えてください。

補足日時：2011/06/10 18:42

No.2 回答者： KEIS050162 回答日時： 2011/06/10 17:43

更に場合分けをするというよりも、

ある関数の極値とｘの範囲内における最大最少を求める場合に、
極値の座標、ｘ軸の交点（すなわちｆ（ｘ）＝０の解）を求めて、極値が範囲の内側か外側かで最大値・最小値が極値と一致するかどうか、を判断していくことになります。

まずは、グラフを描いてみましょう。

今回の問題の様に定数がａとして条件が与えられている場合、極値や解はａで表されることになるので、ａの条件によって、極値がｘの範囲内か外かが変わってくるのが分かると思います。

例えば、
ｆ（ｘ）　＝　ｘ＾３　ー　２ａ＾２ｘ
の場合、

解は、　ｘ　＝　０　、－√ａ、√ａ　で、極値のｘ座標は、－ａ、ａ　です。
０＜ａ＜１の時、ｘの範囲　０≦ｘ≦１で極値はどこになるか？　ということをグラフ上で確認してみてください。


後半の３次関数も同じ要領で解けます。（因数分解も簡単）

ご参考に。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/06/10 17:33

どちらも同じことなんだけど, なぜ「場合分けしなければならない」と思ったの?