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【問題】
方程式8x-3y=1 … ① を満たす整数 x,y について考える。
(1)x,y がともに1桁の自然数となるのは x=[ア] ,y=[イ] のときであり、①を満たすすべての整数x,yは x=[ウ]k+[ア],y=[エ]k+[イ] (kは整数) と表される。
(2) ①を満たす整数x,yで、次の条件を満たすx,yの組の数をNとする。
(条件) -7x^2+y^2+2 の値が、ある自然数mの2乗に等しくなる
(1)を用いると、等式 -7x^2+y^2+2=m^2 は
(k-[オ]+m)(k-[オ]-m)=[カ] と変形される。
よって、N=[キ] である。
また、条件を満たすx,yの組のうち、xの値が最大であるものは
(x,y)=([クケ],[コサ])
【答え】
x=[ア] :x=2
y=[イ]:y=5
x=[ウ]k+[ア]:x=3k+2
y=[エ]k+[イ]:y=8k+5
(k-[オ]+m)(k-[オ]-m)=[カ]:(k-2+m)(k-2-m)=5
N=[キ]:N=2
(x,y)=([クケ],[コサ]):(x,y)=(17,45)
途中式を含めた解説をしていただきたいです…!
宜しくお願いします。
A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
与式を変形させると、x=(3y+1)/8となる。
xが整数なので、3y+1は8の倍数である。また、y=(8x-1)/3となり、yも整数なので、8x-1は3の倍数である。
x、yが共に1桁の自然数となる場合、8x-1の最大値はy=9であった場合の27である。
8x-1が27以下となる自然数xの値は、1,2,3だけである。
この内8x-1が3の倍数となっているものは、16-1=15となるx=2だけである。
この時3y=15なのでy=5である。
また、x=2の時8x-1が3の倍数ということは、xが2から3増えても、8(2+3)-1=(8*2-1)+8・3となり、3の倍数は成立する。
よって、①を満たす全てのxはx=2+3k=3k+2 である(kは整数)
同様にy=5の時3y+1が8の倍数なので、yが5から8増えても成立する。
よって①を満たす全てのyはy=5+8k=8k+5である
-7x^2+y^2+2=m^2 は
-7(3k+2)^2+(8k+5)^2+2-m^2=0となり
(-63+64)k^2+(-84+80)k-28+25+2-m^2=0
k^2-4k-1-m^2=0
(k-2)^2-5-m^2=0
((k-2)+m)((k-2)-m)-5=0
(k-2+m)(k-2-m)=5 となる。
これはkが整数、mが自然数である為
k-2+m>k-2-m であり、
k-2+m=-1、k-2-m=-5 と
k-2+m=5、k-2-m=1 の2組のみである。
この時xが最大となるのは、kが最大となる時であるので、
先ほどの式をそれぞれ解いてみると、
上側はm=2、k=-1となる。
下側はm=2、k=5となる。
よってk=5である時のx=3*5+2=17、y=8*5+5=45 となります。
No.1
- 回答日時:
(1)
①式のxに自然数を順繰りに代入していく。
x=1のとき、yについて解くとyは分数となり不適。
x=2のとき、yについて解くとy=5の整数解が得られる。よってこれが答え。
さて、2組の整数解(x1,y1)、(x2,Y2)について考察する。
①式よりこれらはそれぞれ次の等式を満たす。
8x1-3y1=1
8X2-3y2=1
辺々引いて整理すると
8(x2-x1)=3(y2-y1)
8と3は互いに素なのでx2-x1は3の倍数でありy2-y1は8の倍数である。
これはつまり、xの整数解は3を公差とする等差級数でありyの解は8を公差とする等差級数である。
よって
x=3k+2
y=8k+5
(2)
(1)の解を与えられた等式に代入してkについて整理すると
k^2-4k-1=m^2
両辺に5-m^2を足すと
k^2-4k+4-m^2=5
(k-2)^2-m^2=5
(k-2+m)(k-2-m)=5
k-2+m,k-2-mはそれぞれ整数で右辺が素数の5であることを考慮すると
(k-2+m,k-2-m)は(5,1)(1,5)(-5,-1)(-1,-5)の4通りであることがわかる。
mが自然数であることからk-2+m>k-2-mであるので実際は(5,1)と(-1,-5)の二通りである。
二通りであるというのは、つまりN=2である。
k-2+m=5
k-2-m=1
の連立方程式を解くと
k=5,m=2
k=5を(1)で求めた式に代入して計算すると
x=17,y=45
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