円錐台を傾けた時に、溢れる水の体積の計算。

上辺の半径R、下辺の半径ｒ、高さHの円錐台をθ傾けた際に
円錐台から溢れる水の量を求めたいです。

計算できる方お願いします。

質問者からの補足コメント

• 水面の断面が側面にあたる場合は、違う方の意見で答えがわかったのですが、
  底面と交点を持つ場合がわかりません。
  
  仰ってることを考えてみたのですが、give up 状態です…
  
  よろしければ、式でいただけないでしょうか。
  よろしくお願いします．

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/01/31 22:54

• 

  申し訳ありません。y=2√(r^2-x^2)の積分ができませんでした。
  
  y=2√(r^2-x^2)　の積分って一般的に、x=r*sin(t)に置換してやりますよね?
  その場合、積分区間が大変なことになってしまいます…
  
  他に
  ∫弓(h)dhを求める方法ありますか?
  よろしくお願いします.

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/02/03 05:29

No.3 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/02/01 01:50

とりあえずやってみますが、

積分とか学生の頃(10年ほど前)の知識なので、
間違いが含まれてないか確認しながら参考にしてくださいね。

下の円の中心を原点とすると、
xの位置での水面の高さhは
(h-H)=(x-R)tanθ
h=(x-R)tanθ+H　ただしh≧0

底面との交点を(θx,0)とすると
(θx-R)tanθ+H=0
θx=R-H/tanθ

h=0~H　で　A*dh　を積分
h=zの時の面積Aはその地点での半径sにより「πs^2-減少した面積」
s=r+(R-r)/H*h
減少した面積は左側面から水面の位置までy(手前の側面から奥の側面までの距離)を積分したもの
hでの左側面の位置は-(r-(R-r)/H*h)
水面の位置はx=(h-H)/tanθ+R
よってx＝-(r-(R-r)/H*h)～(h-H)/tanθ+Rで積分する。

y=2√(r^2-x^2)　…これの積分、習ってた当時は一発変換できたのになぁ。忘れた(汗

できたとして、代入した時点でhの関数である。とりあえず弓(h)と表示する。
A=πs^2=π(r+(R-r)/H*h)^2-弓(h)
これにdhをかけて0～Hで積分する
∫(π(r+(R-r)/H*h)^2-弓(h))dh
=∫(π(h^2+2(r+(R-r)/H)h+(r+(R-r)/H)^2)-弓(h))dh
=[π/3*h^3+(r+(R-r)/H)h^2+(r+(R-r)/H)^2)h]-∫弓(h)dh
=(0-(π/3*H^3+(r+(R-r)/H)H^2+(r+(R-r)/H)^2)H))-∫弓(h)dh
=-(π/3*H^3+rH^2+(R-r)H+r^2H+2r(R-r)+(R-r)^2/H)-∫弓(h)dh
=-(π/3)H^3-ｒH^2-(R-r+r^2)H-2rR+2r^2-(R^2-2Rr+r^2)/H-∫弓(h)dh

円錐台からこの体積を引くので
円錐と考えた時の頂点からRの中心までの距離をH0とすると
πR^2*H0/3-πr^2*(H0-H)/3
R:H0=r:(H0-H)より
rH0=H0R-HR
H0(R-r)=HR
H0=HR/(R-r)
πR^2*H0/3-πr^2*(H0-H)/3=πR^2*(HR/(R-r))/3-πr^2*(HR/(R-r)-H)/3
=π(R^2*(HR/(R-r))-r^2*(HR/(R-r)-H))/3
=π(R^2*HR-r^2*(HR-HR+Hr))/3(R-r)
=π(R^2*HR-r^2*Hr)/3(R-r)
=πH(R^3-r^3)/3(R-r)

これからさっきのを引いて
πH(R^3-r^3)/3(R-r)-（-(π/3)H^3-ｒH^2-(R-r+r^2)H-2rR+2r^2-(R^2-2Rr+r^2)/H-∫弓(h)dh）

って感じかなぁ。
あと弓形のとこだけ

No.2 回答者： springside 回答日時： 2017/01/31 06:13

1986年の東大入試数学(理系)の第6問が、これとほとんど同じ問題です。

かなり昔なので解答を見つけることができるかどうか不明ですが、参考までに。

この回答へのお礼

ありがとうございます。探してみます。

お礼日時：2017/01/31 20:12

No.1 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/01/31 04:11

円錐台を、2つの円の中心を通る面で分断し、台形の断面で考えて、その右端が水の出口とします。

その断面がθ傾いた時、水面の左端の位置は側面か底面になります。
どちらになるかθによって決まり、水面の断面は直線なので、側面か底面との交点は求められます。

側面の場合。水のなくなった部分で考えて、
円に平行な面で輪切りにすると、上の端では円形。
下に進むと徐々に円が小さくなると同時に、右側から、最初の台形の断面に垂直な方向の直線が左に進む形で面積が減っていきます。
Cの右側を縦線で繋いだような断面ということです。
次第に半円となり、それを超えると弦を張った弓のような形になります。
水面と側面の交点まで進むと終わりです。

この断面の面積は、その高さでの円の面積から、（「右側の側面からその高さでの水面の位置まで」の手前の側面から奥側の側面までの距離を積分したもの）を引いたものになります。
この面積を、上の端から水面が側面と交わる深さまで積分したものが、求める体積です。

底面の場合は水の残っている部分で考えて、
下の面から上の面まで全ての面積を積分します。
下の端では直線が底面と水面の交点で始まり、
上に進むにつれ右に動きます。上の端で右端になります。
面積はその高さでの水面の位置から右側面まで、手前の側面から奥の側面までの距離を積分したものですね。
今度は残っている水の量を求めたので、全体から引いたものが求める体積となります。

とりあえず考え方まで。