物理の直列回路の問題について質問です 問題 起電力E,内部抵抗rの電池にRの抵抗をつなぐ。抵抗Rでの

物理の直列回路の問題について質問です


問題
起電力E,内部抵抗rの電池にRの抵抗をつなぐ。抵抗Rでの消費電力Pを求めよ。また、Pを最大にするにはRをいくらにすればよいか。

解答
I=E/R+r
P=RI^2
=R(E/R+r)^2
=RE^2/R^2+2Rr+r^2
=E^2/R+2r+(r^2/R)
=E^2/(√R - r/√R)^2 + 4r

ここで質問です
R+2r+(r^2/R)から(√R - r/√R)^2 + 4rにするには、どのようにして計算するかがわかりません

途中式、解説よろしくお願いします

かっこの中が0になるとき、Pは最大。

かっこの中が0になるとき、Pは最大と解答に記載されていましたが、なぜPは最大になるのでしょうか？

∴√R=r/√R
∴R=r

それぞれの解説よろしくお願いします

画像は、解答冊子に記載されていたものです

No.3 ベストアンサー 回答者： ナッキーナッキー 回答日時： 2017/02/18 13:39

R+2r+(r^2/R)

＝ (√R)^2 + 2r + (r/√R)^2 　←式①としておきます
=(√R)^2 - 2r + (r/√R)^2 +4r　と書き直します・・・もちろん、これを計算すると元の式に戻りますね。
すると
=(√R - r/√R)^2 + 4r　ですね(^^)
なんで、こんな式変形をするかというと、分子の E^2 は一定であるから、Pが最大値になるときは、分母が最小のはずです。
ところが、式①のままだと、式①＝(√R + r/√R)^2 = R + 2r + (r^2/R) の最小値は？ですね。
そこで、式を　(・・・　－　・・・)^2 の形に書き直してしまおうと言うことです。
そうすると、明らかに（・・・ －　・・・）^2 の最小値は０ですよね(^^v)
そして、分母の最小値は 4r ・・・なぜかというと、（・・・ －　・・・）^2　は負の値にならないので、さっきも書いたとおり、この部分の最小値は０です
したがって、Pが最大になるときは、（ ）内が０であるから、
√R － r/√R = 0
のときで、分母が最小値 4r になるときである、
・・・です(^^)

ちなみに、写真の下の方に見えている（別解）のように、相加平均と相乗平均の関係を使って解くこともできます。
高校物理でのテクニックが必要な最大値・最小値の問題は、この程度なので、ここでマスターしておくといいですよ(^^v)
（１）式を（・・・ ー　・・・）^2 の形が出てくるように書き直す
（２）相加平均と相乗平均の関係を使う

この回答へのお礼

丁寧な解説ありがとうございました

お礼日時：2017/02/18 14:04

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2017/02/18 13:12

まず、回答の前に、数式はきちんと誤解の内容に書かなければいけません。

特に「分母が多項式」のとき。

P=RI^2
=R(E/R+r)^2
=RE^2/R^2+2Rr+r^2
=E^2/R+2r+(r^2/R)
=E^2/(√R - r/√R)^2 + 4r

は、正しくは
P=RI^2
=R[ E/(R+r) ]^2
=RE^2/(R^2+2Rr+r^2)
=E^2/[ R+2r+(r^2/R) ]
=E^2/[ (√R - r/√R)^2 + 4r ]　　　　①
と書かないと意味が通じません。

その上で回答します。
R+2r+(r^2/R)
＝(√R)^2 + 2r + (r/√R)　　　　②
= ( √R - r/√R )^2 + 4r　　　　③

ということです。②は
= ( √R + r/√R )^2
にもなりますが、ここでは「意図をもって」「√R - r/√R」の平方形にしています。

その「意図」とは、「最小値を見つける」ということです。
( √R - r/√R )^2 + 4r
では
　0 ≦ ( √R - r/√R )^2
ですから、
　4r ≦ ( √R - r/√R )^2 + 4r
となって、③の最小値は「4r」ということが分かります。最小値となるのは
　√R - r/√R = 0
つまり
　√R =r/√R　→ R=r
のときです。

従って、③が最小となるときに、③を分母に持つ①の最大値は
　Pmax = E^2/4r
になります。


別な解法として、「微分」というものを知っていれば、①をRで微分する、あるいは分母の
　f(R) = R+2r+(r^2/R)
をRで微分することにより、最大・最小が求まります。やってみれば、
　f'(R) = 1 - (r^2/R^2)
より、f(R) が「極大・極小」になるのは
　f'(R) = 1 - (r^2/R^2) = 0
のときです。これより
　(r/R)^2 = 1
R>0, r>0 なので
　R = r
のときだということが分かります。
このとき、2階微分をとって
　f''(R) = 2r^2 /R^3
より
　f''(r) = 2/r > 0
従って、R>0, r>0 の範囲で f(R) は R=r で 「極小」（他に極小はないので「最小」）となることが分かります。

③式を使って「最小値」を求めるのは、この「微分」を使わないで求める方法です。

この回答へのお礼

わかりにくくてすみません
回答ありがとうございました

お礼日時：2017/02/18 14:03

No.1 回答者： tmk616 回答日時： 2017/02/18 12:39

平方完成を使ってるんだよ！

わからなかったら数1の教科書読んで〜

この回答へのお礼

了解しました

お礼日時：2017/02/18 14:03