再び一次関数のグラフがX軸と作る角度を2等分する直線の式について

数日前に一次関数のグラフがX軸と作る角度を2等分する直線の式について質問しましたが、高校の内容(三角関数)での説明もあり理解できませんでした。当方は今、一度中学の数学を勉強している老生です。さて、本題ですが ⑴ Y=2XのグラフがX軸と作る角度を2等分する直線の式はどのようにして求めたらいいのですか、途中計算も省かないでご指導ください。今理解していることは、①仮にY=2XのグラフがX軸と作る角度を2等分する直線の式があるとし、その Y=aX　上の任意の点 P(a、b)からY=2Xのグラフに垂線をたてその距離を求め、同様にX軸に垂線を立てて、その距離を求め互いの値が等しいことを利用して答えを出せば良いと----ここまでは解っています。では具体的にその計算もご指導ください。

質問者からの補足コメント

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  中点を利用する解法は気が付きませんでした。Y= a/√a^2+1X はこれで公√式とし使えますね。
  　一つ疑問がありますが説明文の点　P(x、 y)　として l　=√　x^2 + y^2 は解りません。３平方の定理を利用するのでしょうが　どこが直角と考えるのでしょうか。回答楽しみにしています。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/02/20 20:44

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  意地悪しないで下さい。真剣に取り組んでいますから

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/02/20 20:58

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  yhr さんへ　どうもありがとうございました。ただ任意の点 P(k.ak) としたことにより計算が複雑になってしまうようです。お手数ですが任意の点 Pの座標を(a.b)として最初から再度教えてくれませんか。お願いします。

    補足日時：2017/02/20 21:05

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2017/02/20 18:17

＞①仮にY=2XのグラフがX軸と作る角度を2等分する直線の式があるとし、その Y=aX　上の任意の点 P(a、b)からY=2Xのグラフに垂線をたてその距離を求め、同様にX軸に垂線を立てて、その距離を求め互いの値が等しいことを利用して答えを出せば良いと----ここまでは解っています。

では、それを式で表であらわせばよいだけです。中学校の数学の範囲でできます。

「Y=2XのグラフがX軸と作る角度を2等分する直線の式Y=aX」なので、a>0 です。
「Y=aX　上の任意の点 P(a、b)」だと「a」がダブってしまうので
「Y=aX　上の任意の点 P(k、ak)」にしましょう。k>0 とします。

原点と P の距離は、三平方の定理から
　OP = √[ k^2 + (ak)^2 ] = k√(1 + a^2)　　　①
です。

「X軸に垂線を立てて、その距離を求め」は簡単ですね。P (k, ak) なので、「P と、P からX軸に立てた垂線の足 Q との距離」は
　PQ = ak　　　②
です。

「点 P(k、ak)からY=2Xのグラフに垂線をたてその距離を求め」は、ちょっと面倒です。
「点 P(k、ak)からY=2Xのグラフにおろした垂線の足」を R(s, t) とすると、Y=2X 上の点なので s>0 で
　t = 2s　　　　　　(A)
で R(s, 2s) となります。従って
　OR = √[ s^2 + (2s)^2 ] = s√(1 + 4) = s√5　　　③
一方、「互いの値が等しいことを利用して」なので、②より
　PR = PQ = ak　　　　④
です。

∠OQP は直角なので、三平方の定理より
　OP^２ = OR^2 + PR^2
より、①③④を代入して
　k^2 (1 + a^2) = 5s^2 + (ak)^2
よって
　s^2 = (1/5)k^2
s>0, k>0 なので
　s = (1/√5)k
　t = 2s = (2/√5)k
よって
　R ( (1/√5)k, (2/√5)k )

一方、２点間の距離なので
　PR = √[ (1/√5)k - k)^2 + ((2/√5)k - ak)^2 ] = PQ = ak
より
　(1/5)k^2 - (2/√5)k^2 + k^2 + (4/5)k^2 - (4/√5)ak^2 + a^2k^2 = a^2k^2
→　2 - (2/√5) - (4/√5)a = 0
→　a = (2 - 2/√5) / (4/√5) = (2√5 - 2) / 4 = (√5 - 1) / 2

従って、Y=2X と X軸のなす角を２等分する直線は
　　y = [ (√5 - 1) / 2 ]x


もとの直線が Y=2X ではなく、一般の直線 Y=bX であれば、(A)の部分を
　　t = bs
にして同じことをすればよいです。

No.2 ベストアンサー 回答者： ナッキーナッキー 回答日時： 2017/02/20 19:15

考え方は少し違うのですが、手書きの画像をアップしておきました

https://gyazo.com/bb7f142cbfde9ba416b74e96ab8fd421
疑問点や見づらい点がありましたら、質問して下さい(^^)
参考になれば幸いです(^^v)

この回答へのお礼

よくわかりました。本当にありがとうございました。
次の質問にもご指導ください。

お礼日時：2017/02/21 17:05

No.3 回答者： doc_somday 回答日時： 2017/02/20 20:37

それは三角関数を使わないと表記出来ません。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2017/02/20 23:01

No.1です。

「補足」に書かれたことについて。

＞ただ任意の点 P(k.ak) としたことにより計算が複雑になってしまうようです。お手数ですが任意の点 Pの座標を(a.b)として最初から再度教えてくれませんか。お願いします。

Y=aX のグラフ上の任意の点 (a, b) では、a が重なってしまいますので使えません。これを P(b, c) とすれば、Y=aX のグラフ上の点なので ｃ=ab になり、結局 P(b, ab) となって、どんな文字を使っても同じですよ。

もし「k」が入るので計算が面倒になるとお考えなら、k=１として計算してみてください。結果は同じになります。

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2017/02/21 00:43

No.1&4です。

元の質問で、一般的な式をお求めのようだったので、
「Y=bXのグラフがX軸と作る角度を2等分する直線の式Y=aX」
についても書いておきます。面倒なので、b>0 で Y=bXのグラフがX軸と作る角度は 0<θ<90°とします。

「Y=bXのグラフがX軸と作る角度を2等分する直線の式Y=aX」なので、a>0 です。
「Y=aX　上の任意の点 P(k、ak)」、k>0 とします。

原点と P の距離は、三平方の定理から
　OP = √[ k^2 + (ak)^2 ] = k√(1 + a^2)　　　①
です。

P (k, ak) なので、「P と、P からX軸に立てた垂線の足 Q との距離」は
　PQ = ak　　　②
です。

「点 P(k、ak)からY=bXのグラフにおろした垂線の足」を R(s, t) とすると、Y=bX 上の点なので s>0 で
　t = bs　　　　　　(A)
で R(s, bs) となります。従って
　OR = √[ s^2 + (bs)^2 ] = s√(1 + b^2)　　　③
一方、②より
　PR = PQ = ak　　　　④
です。

∠OQP は直角なので、三平方の定理
　OP^２ = OR^2 + PR^2
に、①③④を代入して
　k^2 (1 + a^2) = (1 + b^2)s^2 + (ak)^2
よって
　s^2 = k^2 /(1 + b^2)
s>0, k>0 なので
　s = k / √(1 + b^2)
　t = bs = bk / √(1 + b^2)
よって
　R ( k/√(1 + b^2), bk/√(1 + b^2) )

一方、２点間の距離なので
　PR = √[ (k/√(1 + b^2) - k)^2 + (bk/√(1 + b^2) - ak)^2 ] = PQ = ak
より
　k^2 /(1 + b^2) - 2k^2/√(1 + b^2) + k^2 + b^2k^2 /(1 + b^2) - 2abk^2/√(1 + b^2) + a^2k^2 = a^2k^2
→　 (1 + b^2) /(1 + b^2) + 1 - 2/√(1 + b^2) = 2ab/√(1 + b^2)
→　 1 - 1/√(1 + b^2) = ab/√(1 + b^2)
→　a = [ √(1 + b^2) - 1 ]/b

従って、Y=bX と X軸のなす角を２等分する直線は
　　y = { [ √(1 + b^2) - 1 ]/b }x


質問にある b=2 の場合には
　　a = [ √(1 + b^2) - 1 ]/b = (√5 - 1)/2
となってNo.1に一致します。

No.6 回答者： chiha2525-- 回答日時： 2017/02/21 11:42

黄金律が見えるｗ