数学の整数問題について、自分の解答の正誤と、模範解答の方針の意図

数学の、とある整数問題について質問がございます。

※チャート式数学ⅠAより問題、模範解答を引用。

（問題）
整式f(x)=x^3+ax^2+bx+c(a,b,cは実数)を考える。f(-1),f(0),f(1)がすべて整数ならば、すべての整数nに対し、f(n)は整数であることを示せ。

(自分の解答)
f(-1)=(-1)^3+a(-1)^2+b(-1)+c=-1+a-b+c
f(0)=c
f(1)=1+a+b+c
したがって、f(-1),f(0),f(1)が整数であるならば、a-b+c,c,a+b+cは整数である。
また、cが整数であるならばa-b,a+bも整数であり、(a-b)+(a+b)=2aよりaも整数である。したがってbも整数である。
以上から、a,b,cが整数であるから、すべての整数nに対し、f(n)は整数である。

(模範解答)
f(-1)=-1+a-b+c、f(0)=c、f(1)=1+a+b+c
これらがすべて整数であるから、p,qを整数として
f(-1)=p、f(1)=qとおける。
このとき、f(-1)+f(1)=2(a+c)であるから、2(a+c)=p+q。
ゆえに、a=p+q/2-c
これと-1+a-b+c=pから
b=a+c-p-1=q-p/2-1
よってf(n)=n^3+an^2+bn+c
=n^3+(p+q/2-c)n^2+(q-p/2-1)n+c
=n^2-n/2・p+n^2+n/2・q+n^3-cn^2-n+c
=n(n-1)/2・p+n(n+1)/2・q+n^3-cn^2-n+c
n(n-1)、n(n+1)はともに2の倍数であるから、
n(n-1)/2、n(n+1)/2はともに整数である。
また、cは整数であるから、n^3-cn^2-n+cは整数である。
したがって、すべての整数nに対し、f(n)は整数である。


・自分の解答は論理的に正しいか。また、証明の書き方としておかしな点は無いか。
・なぜ模範解答は上記のような方針を選んで解いたのか。どちらも(整数)±(整数)=(整数)であるということを利用していて、考え方の基本部分は共通しているように思うので、文字を置くことで生まれるメリットが何かあるのだと思うのですが……。

反応が遅くなってしまうかもしれませんが、どうぞ回答をよろしくお願いいたします。

質問者からの補足コメント

• a,bが整数でなくとも成り立つ場合が抜けてしまっていたのですね。
  (a-b)+(a+b)=2aよりaも整数である、としたのが誤りでした。2aが整数ならばaが整数である、というのは、a=1/2もあり得て常に成り立つことではありませんね……。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/03/13 01:33

• tacosanさんとなめたろうさんのお二人のご指摘のお陰で、自分の間違いに気づくことができました。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/03/13 01:39

• 

  自分の誤りには気づくことができました。
  しかし、模範解答のように
  f(n)=n^3+an^2+bn+c
  =n^3+(p+q/2-c)n^2+(q-p/2-1)n+c
  =n^2-n/2・p+n^2+n/2・q+n^3-cn^2-n+c
  =n(n-1)/2・p+n(n+1)/2・q+n^3-cn^2-n+c
  と式変形をして、「n(n-1)、n(n+1)はともに2の倍数であるから、n(n-1)/2、n(n+1)/2はともに整数である」という所まで持っていく発想が自分はあまりよく理解できていないように思います。特にn^3+(p+q/2-c)n^2+(q-p/2-1)n+c=n^2-n/2・p+n^2+n/2・q+n^3-cn^2-n+cの部分が未消化気味です。

    補足日時：2017/03/13 01:49

• 整数かどうか不明な部分が整数であることを証明する、というのが本質で、
  an^2 + bn = (a+b)[n(n+1)/2] + (a-b)[n(n-1)/2]
  と変形できることを思いつくのは難しいから、便宜上文字を置いて考えやすくしているということなのですね。
  
  帰納法を使うとなると、負の数のときも考えなければならないから
  (1)n=1のときに成り立つことを証明する。
  (2)n=kのときに成り立つと仮定して、n=k±1の時に成り立つことを証明する。
  という流れになるのでしょうか。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/03/13 14:06

• ＞２ａが奇数の場合、ｐ、ｑを整数とすると、ａ＝ｐ＋１／２、ｂ＝ｑ＋１／２のように書ける
  
  pが奇数の場合、例えばp=3のときａ＝3＋１／２=２、２a＝４となり２aが偶数となり矛盾しませんか。こちらの見当違いならば申し訳ないです。
  
  ＞よくわからないからｐとｑについて整理
  ある文字に注目してよく分からなければ別の文字に注目してみる。視点変更は、式変形でも大切なのですね。
  
  ＞ｐ＋ｑ＝２(ａ＋ｃ)、ｑ－ｐ＝２(ｂ＋１)をそれぞれ代入すると、＝{ｎ^3－ｃｎ^2－ｎ+ｃ}＋{(ａ＋ｃ)n^2＋(ｂ＋１)ｎ}となり、全部整数の和と積だから整数。
  
  ｐ＋ｑ ＝２(ａ＋ｃ)、ｑ－ｐ＝２(ｂ＋１)が成り立っても(ａ＋ｃ)、(ｂ＋１)が整数であるか不明なため、結論につながらないように思います。こちらも見当違いでしたら申し訳ないです。
  
  ※字数制限によりtekcycleさんの記述を一部省略、変更。

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/03/13 14:52

No.1 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/03/13 00:43

あなたの解答には間違いがあります.

途中 a-b, a+b がいずれも整数であることから a (と b) を整数としていますが, これは成り立ちません. 例えば
f(x) = x^3 + x^2/2 + x/2 + 1
という関数を考えると, 全ての整数 n に対して f(n) は整数となりますがあなたの解答ではこのような関数を考慮できていません.

No.6 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/03/14 00:07

a+b, a-b が (従って 2a と 2b が) 整数であることがわかれば, そこからはたぶんいろいろな方法があると思いますよ. 帰納法としても

・n=0 のときに成り立つことを示し, さらに n=k のときに成り立つと仮定して n=k±1 でも成り立つことを示す
・f(n) + f(-n) または f(n) - f(-n) を考えると f(n) が整数なら f(-n) も整数であることがわかるので n が0 以上のときだけ示す
の少なくとも 2通りは考えられます.

この回答へのお礼

帰納法でもできるなんて目から鱗でした。f(k+1)の式変形の最後で少しもたつきましたが、a-b、a+bが整数であることを利用すればいいのだという根本的な所が分かっていれば、方法が変わっても答えにたどり着けるのですね！当たり前のことなのかもしれないですけど、自力で（助けを借りてですが）変形ができてかなり感動してしまいました。
ここまでお付き合いいただき、本当にありがとうございました。

お礼日時：2017/03/15 00:16

No.5 回答者： tekcycle 回答日時： 2017/03/13 23:31

> ｐ＋ｑ ＝２(ａ＋ｃ)、ｑ－ｐ＝２(ｂ＋１)が成り立っても(ａ＋ｃ)、(ｂ＋１)が整数で

> あるか不明なため、結論につながらない

でしたね。ごめんなさい。
じゃ、これ無し。

で、
>> {(ｐ＋ｑ)n^2＋(ｑ－ｐ)ｎ}
を見て
>> {ｐｎ(ｎ－１)＋ｑｎ(n＋１)}
を思いつけ、それを目標にそう解いていけ、というのは辛いように思います。
私なら、やってみたらたまたまそうなった、くらいでしょう。
まぁ一度やっておけばいつか出たときに使えるかもしれませんが。

> pが奇数の場合、例えばp=3のときａ＝3＋１／２=２、２a＝４となり２aが偶数となり矛盾しませんか。

私は()を省略していませんよ。
ａ＝(3＋１)／２=２
ですが、
ａ＝(3)＋(１／２)=３．５
です。
読み直してみて下さい。
熱があって呆けていたようなので、また間違っているかもしれませんが。
ただ、解答の、ｆ()＝ｐ、ｑというのも素直と言えば素直ですが、私の解き方もあなたの解き方に近いだろうと思います。
猪突猛進的に進んでみる。
進んでみたところで、ぶつかった困難をどう解消するか、という解法になっているかもしれない、なっていたら良いなぁ、という感じです。

この回答へのお礼

失礼いたしました。そこのつっかえ（勘違い）が取れて改めて最後まで読んだのですが、とても参考になる解答でした。ありがとうございました。
熱があったとのことですが、どうかお大事になさってくださいね。

お礼日時：2017/03/14 23:27

No.4 回答者： tekcycle 回答日時： 2017/03/13 08:22

> また、cが整数であるならばa-b,a+bも整数であり、(a-b)+(a+b)=2a

は整数である。
まで正しくて、
２ａが偶数の場合、ａは整数であり、このときｂも整数である。
２ａが奇数の場合、ｐ、ｑを整数とすると、ａ＝ｐ＋１／２と書け、このときｂもｑ＋１／２のように書ける。

元に戻って、
ｆ(ｎ)＝ｎ^3＋ａｎ^2＋ｂｎ＋ｃ
このうち、ｎ^3＋ｃは整数と整数の和だから整数である。
ａｎ^2＋ｂｎは、ａとｂがどちらも整数である場合は、整数である。
ａがｐ＋１／２、ｂもｑ＋１／２という形をしている場合、ｎが偶数であれば、ｍを整数として、ｎ＝２ｍと書けるので、
ａｎ^2＋ｂｎ＝４ａｍ^2＋２ｂｍ
＝(４ｐ＋２)ｍ^2＋(２ｑ＋１)ｍ
となり、整数の積と和なので整数になる。
ｎが奇数の場合、
ｎ＝２ｍ＋１と書けるので、
ａｎ^2＋ｂｎ＝ａ(２ｍ＋１)^2＋ｂ(２ｍ＋１)
＝４ａｍ^2＋４ａｍ＋ａ＋２ｂｍ＋ｂ
＝(４ａｍ^2＋４ａｍ＋２ｂｍ)＋(ａ＋ｂ)
＝{４ｐ＋２)ｍ^2＋(４ｐ＋２)ｍ＋(２ｑ＋１)ｍ}＋{ｐ＋１／２＋ｑ＋１／２}
＝{４ｐ＋２)ｍ^2＋(４ｐ＋２)ｍ＋(２ｑ＋１)ｍ}＋{ｐ＋ｑ＋１}
ここで、{４ｐ＋２)ｍ^2＋(４ｐ＋２)ｍ＋(２ｑ＋１)ｍ}は整数の積と和なので整数であり、{ｐ＋ｑ＋１}も整数の和なので整数である。


> 「n(n-1)、n(n+1)はともに2の倍数であるから、n(n-1)/2、n(n+1)/2はともに整数である」という所まで持っていく発想が自分はあまりよく理解できていないように思います。

＝ｎ^3+{(ｐ＋ｑ)／２－ｃ}ｎ^2＋{(ｑ－ｐ)／２－１})ｎ＋ｃ
明らかに整数の所と、１／２がかかっているところを分離
＝{ｎ^3－ｃｎ^2－ｎ+ｃ}＋１／２{(ｐ＋ｑ)n^2＋(ｑ－ｐ)ｎ}
よくわからないからｐとｑについて整理
＝{ｎ^3－ｃｎ^2－ｎ+ｃ}＋１／２{ｐ(ｎ^2－ｎ)＋ｑ(n^2＋ｎ)}
＝{ｎ^3－ｃｎ^2－ｎ+ｃ}＋１／２{ｐｎ(ｎ－１)＋ｑｎ(n＋１)}
で模範解。
別解
＝{ｎ^3－ｃｎ^2－ｎ+ｃ}＋１／２{(ｐ＋ｑ)n^2＋(ｑ－ｐ)ｎ}
ここで
ｐ＋ｑ＝ｆ(－１)＋ｆ(１)
＝－１＋ａ－ｂ＋ｃ＋１＋ａ＋ｂ＋ｃ
＝２(ａ＋ｃ)
ｑ－ｐ＝ｆ(１)－ｆ(－１)
＝１＋ａ＋ｂ＋ｃ－(－１＋ａ－ｂ＋ｃ)
＝２(ｂ＋１)
をそれぞれ代入すると
＝{ｎ^3－ｃｎ^2－ｎ+ｃ}＋１／２{２(ａ＋ｃ)n^2＋２(ｂ＋１)ｎ}
＝{ｎ^3－ｃｎ^2－ｎ+ｃ}＋{(ａ＋ｃ)n^2＋(ｂ＋１)ｎ}
全部整数の和と積だから整数。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/03/13 03:12

p とか q とかを使ってるからわかりにくいのかもしれんけど, 基本的には

a+b や a-b をどうにかして作り出す
ということじゃないかな. 本質は
an^2 + bn = (a+b)[n(n+1)/2] + (a-b)[n(n-1)/2]
なわけだし.

ああ, もちろん他にも証明方法はあるからね. まわりくどくてもいいなら帰納法だって使える.

No.2 回答者： なめたろう 回答日時： 2017/03/13 01:26

(a-b)+(a+b)=2aのところでは、2aが整数なのであってaが整数とは言えないです

例えば、a=1/2のとき2a=1となり
(右辺)=(整数)となります
p,qの文字を使ったのは見やすくするためです
そのままf(-1)やf(1)を使っても大丈夫です