中学受験の図形の問題です

Question

一辺が12cmの正方形を図のように並べた時の斜線部分の面積を求めたいのですが、補助線を引いて1と2の三角形の面積が同じなのは分かるのですが(底辺の長さが同じで高さが同じ)、2と3が同じ面積になるのが分かりません。正方形ですし、感覚的には同じだろうと思うのですが、なぜ同じかと言われると説明出来ず…。教えていただけるとありがたいです。よろしくお願いいたします。

yuji3690 · Accepted Answer

説明しづらいので、添付画像のように交点に名前を付けました。

△CJF≡△CFBを証明すれば良いのですね？
FC=BC=12cmであることは分かるかと思います。
そしてJCは共通なので、FJ=BJもしくは∠FCJ=∠BCFのどちらかを証明できれば良いわけです。

簡単なのは、△HFJ≡△ABJを証明することで、FJ=BJである事の証明とする方法だと思います。
△HFJ≡△ABJを証明するには、
やはりHF=AB=12cmであることは分かるかと思います。
そして対頂角なので∠HJF=∠AJBです。
この状態ではまだ証明できませんが、
∠FHJ=∠BAJを証明できれば、三角形の内角の和が180度より、
∠HFJ=∠ABJも証明できるので、1組の辺とその両端の角が等しい事を証明できます。

∠FHJ=∠BAJを証明するには、
△CHB≡△CAFを証明するのが簡単でしょう。
CB=CF=12cmおよびCH=CA=24cmであるのは分かるかと思います。
そして∠Cは共通。
よって2組の辺とその間の角が等しいので、
△CHB≡△CAFが証明されました。

△CHB≡△CAFより∠FHJ=∠BAJなので、
∠HJF=∠AJBより
∠HFJ=∠ABJとなり、
HF=AB=12cmであることもふまえれば、
1組の辺とその両端の角が等しいので、
△HFJ≡△ABJが証明されました。

△HFJ≡△ABJよりFJ=BJなので、
FC=BC=12cm、JCは共通より、
2組の辺とその間の角が等しいので、
△CJF≡△CFBが証明されました。

後半は前半のコピーを貼り付けてやったので、選択ミスしてないと良いのですが…

kairou · Answer

パソコンでは図が上手く書けませんので、言葉では分り難いかも知れませんが。
あなたの添付画像で、説明させて下さい。

③ の左の１２cmと書いてある三角形を④ とします。
①、②、③ を合わせた三角形と、②、③、④ を合わせた三角形は同じ面積ですよね。
（図形の向きが違うだけですから。）
と云う事は、②、③ は共通ですから、①と④は同じ面積になります。
①②が同じと云う事は、③④も同じと云う事。
つまり、三角形①②③と三角形②③④を比べると、
①=④、②=③　になりますよね。（これも向きが違うだけですね。）

-cube11 · Answer

②と③に引いた補助線で紙を折ることは想像出来ますか？

①同様、底辺と高さが同じになると思いますが。

ぽんんぽ · Answer

間違っているかもしれません。他に回答がなかった時に参考にしてください。他に上手な回答があればそちらを参考にしてください^_^

まず２と３を分けている線は、正方形の対角線の一部ですよね。（これが違うといわれたら私の説明はもう終わり笑）
そうしたら、1と３の高さが同じになります。（どちらも正方形の辺を底辺とする）
ということは1と３は同じ面積です。

１＝２
１＝３
ということは
２＝３

中学受験の図形の問題です

説明しづらいので、添付画像のように交点に名前を付けました。

パソコンでは図が上手く書けませんので、言葉では分り難いかも知れませんが。

②と③に引いた補助線で紙を折ることは想像出来ますか？

間違っているかもしれません。

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