【数学II】
因数定理で因数を見つける方法を教えて下さい!!

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A 回答 (7件)

P(α)=0 になれば、



P(x) は x - α を 因数にもつ わけですが、


この α の候補は、

(i) P(x)の最高次数の係数が 1 のときは、
 
  ±(定数項の約数)


(ii) P(x)の最高次数の係数が 1以外 のときは、
 
  ±(定数項の約数)/(最高次数の係数の約数)

と、覚えていればいいと思いますよ。((i) だけでも構いません、学校の試験で、(ii) を使って解く可能性が低いと思うので)


例えば、P(x)を3次式としたとき、

    P(x)が、 (x-α)(x-β)(x-γ) と因数分解できたとすると、

    αβγ は P(x)の定数項ですね。
    ~~~~~~~~~~~

なので、 α は定数項の約数 になるわけです。



例えば、
(ア) x^3+6x^2+11x+6 であれば、定数項は 6 だから、

    α の候補は、 ±1、±2、±3、±6 です。


(イ) x^3+4x^2-4x-16 であれば、定数項は -16 だから、

    α の候補は、 ±1、±2、±4、±8、±16 です。


(ウ) 4x^3-4x^2-11x+6 であれば、定数項は 6 だから、

    α の候補は、 ±1、±2、±3、±6 です。
    (最高次数の係数が 1 以外の 4 ですが、(i)を使って解けます)




余談ですが、
P(x)=0の解に1つでも整数解があれば、(i)の方法で解けます。
       ~~~~~~~~~~~


P(x)=0の解に整数解が1つもなければ(解が分数になる場合)、(ii)の方法になります。

(エ) 4x^3+9x^2-15x+3 であれば、定数項が 3 だから、

    α の候補は、 ±1、±2、±3 ですが、これでは 0 にはならないので、(ii)の方法を使うことになり、

    最高次数 x^3 の係数が 4 で、 4の約数 は 1、2、4 だから

    α の候補は、上記以外の ±1/2、±3/2、±1/4、±3/4 になります。
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1.ax^2+bx+cを因数分解する。

(x-α)(x-β)
因数分解の値がみつからないなら、
2.ax^2+bx+c=0として解の公式を使う。[x-{-b+√(b^2-4ac)/2a}][x-{-b-√(b^2-4ac)/2a}]
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>>=0にする時のxを決めるのは勘ですか?



勘で正解。問題を沢山練習すると、パッと解る様になる。
と言うか、解る様に問題が作られている。

実社会での設計計算とかでは、問題は作られて居る訳じゃ無いから、パッとは解らない。試行錯誤やニュートン法などで近似値を求める。
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x²+x-2を因数分解したい場合でしたら、


まず、パッと見て、x=1を代入したら=0になるね!

一般には、定数項、素因数分解したときの数字で、この場合は、
±1 ±2 を代入しよう!
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関数f(x)=因数A*因数B=0


である時、因数A=0 or 因数B=0
この時0となる因数が定数であれば、関数f(x)は常に0、つまり定数であるので、そもそも関数ではない。
よって 因数A=関数g(x)=0 or 因数B=関数h(x)=0 である。
長くなるので=0である方を因数Aとし、もう一方を因数Bとする。
この時x=aにおいてf(x)=0となった場合、
x-a=0なので
因数A=関数g(x)=0=x-a
と考える事ができる。
よって関数f(x)=(x-a)*因数Bと表すことができ、x=aの時f(x)=(a-a)*因数B=0である。

そしてx=bにおいてもf(x)=0であった場合、
f(x)=(x-a)(x-b)*因数C
更にx=cにおいてもf(x)=0であった場合、
f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)*因数D
という風に考える事ができる。
因数は(xの解の数+1)個考える事ができ、
最後の1個は0以外の定数である。

「因数を見つける方法」というのが、=0となる方の因数を言っているのか、もう一方の方を言っているのかわからないが、
=0となる方を見つける方法であれば、
①それらしい値を代入して確かめる
②解の公式等を利用して解を求め、その解を利用して因数とする
③前提条件として問題文中に書かれている
等でしょうか。
もう一方の方の事であれば、
f(x)を=0となる方の因数で割れば良いのです。
因数であるからには必ずf(x)を割り切ることができます。
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数学の先生いわく



高校では5~-5くらいにあるそうなので地道にするしかないですね
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f(x)=0の時にxに色々代入して結果が0になる物が有ったら、因数には(x-代入した値)があると言う事。



x²+x-2を因数分解したいとする。
x²+x-2=0の時、xに1を代入すると、
1²+1-2 = 2-2 = 0となる。

だからx²+x-2は、(x-1)で割り切れる。
∴x²+x-2=(x-1)(x+2)と書ける。
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この回答へのお礼

=0にする時のxを決めるのは勘ですか?

お礼日時:2017/04/16 22:33

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http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/suuretu/suuretu/henkan-tex.cgi?target=/math/category/suuretu/suuretu/taylor-teiri.html

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Q数学の実数の問題です。

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Aベストアンサー

濃度という意味で言えば同じですね。

小数点以下の桁数が限られていればあなたが考えた通りなのですが、
実際には桁数も無限なので、無限の実数を含むことになります。
無限なのだから当然個数で比較することはできません。
ですので、別の考え方が必要でしょう。


区間 [2,3] から、実数xを一つ取ります。
ここで変換式 8(x-2)+2 を適用すると
どんなxに対しても区間 [2,10] の実数になります。

逆に、区間 [2,10] から、実数yを一つ取り
変換式 (1/8)(y-2)+2 を適用すると
どんなyに対しても区間 [2,3] の実数になります。

つまり、二つの区間内の実数が一対一で変換できるので、
個数は同じだけある。
というのが答えになります。

大学数学ではこれを濃度が同じとしています。
イメージとしては「長さが違ったとしても同じ一本の線(の区間)」
なので一対一に対応できるのは当たり前、といったところでしょうか。

Q次の数を大小順に並べろ (1)2^36,3^24,6^12 (2)3の4乗根、5の6乗根、7の7乗根

次の数を大小順に並べろ
(1)2^36,3^24,6^12
(2)3の4乗根、5の6乗根、7の7乗根
(3)log3の2、log7の4、2/3
途中式をわかりやすく教えていただけると嬉しいです

Aベストアンサー

(1) 同じべき乗の形に統一すればよい。
  2^36 = 2^(3*12) = (2^3)^12 = 8^12
  3^24 = 3^(2*12) = (3^2)^12 = 9^12
  6^12
これで比べられますね。
  6^12 < 2^36 < 3^24

(2) 同じようにやればよい。
  3^(1/4) = 3^(21/84) = (3^3)^(7/84) = 27^(7/84) = (3^7)^(3/84) = 2187^(3/84)
  5^(1/6) = 5^(14/84) = (5^2)^(7/84) = 25^(7/84)
  7^(1/7) = 7^(12/84) = (7^4)^(3/84) = 2401^(3/84)
よって
  5^(1/6) < 3^(1/4) < 7^(1/7)

(3) これは2つずつ比をとってみればよいかな。

 log[3]2 = log(2)/log(3) = x
 log[7]4 = log(4)/log(7) = 2log(2)/log(7) = y
とおけば
 x/y = log(7) / 2log(3) = log(7) / log(9) < 1

 2/3=z とおくと
 x/z = (3/2)log(2)/log(3) = 3log(2) / 2log(3) = log(8) / log(9) < 1
 y/z = (3/2)log(4)/log(7) = 3log(4) / 2log(7) = log(64) / log(49) > 1

よって
 x<z<y → log[3]2 < 2/3 < log[7]4

(1) 同じべき乗の形に統一すればよい。
  2^36 = 2^(3*12) = (2^3)^12 = 8^12
  3^24 = 3^(2*12) = (3^2)^12 = 9^12
  6^12
これで比べられますね。
  6^12 < 2^36 < 3^24

(2) 同じようにやればよい。
  3^(1/4) = 3^(21/84) = (3^3)^(7/84) = 27^(7/84) = (3^7)^(3/84) = 2187^(3/84)
  5^(1/6) = 5^(14/84) = (5^2)^(7/84) = 25^(7/84)
  7^(1/7) = 7^(12/84) = (7^4)^(3/84) = 2401^(3/84)
よって
  5^(1/6) < 3^(1/4) < 7^(1/7)

(3) これは2つずつ比をとってみればよいかな。

 log[3]2 = ...続きを読む

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