【数学II】 因数定理で因数を見つける方法を教えて下さい！！

【数学II】
因数定理で因数を見つける方法を教えて下さい！！

No.7 ベストアンサー 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2017/04/17 23:59

P(α)=0　になれば、

P(x) は　x - α　を　因数にもつ　わけですが、


この　α　の候補は、

（i）　P(x)の最高次数の係数が　１　のときは、
　
　　±(定数項の約数)


（ii）　P(x)の最高次数の係数が　１以外　のときは、
　
　　±(定数項の約数)/(最高次数の係数の約数)

と、覚えていればいいと思いますよ。（(i) だけでも構いません、学校の試験で、(ii) を使って解く可能性が低いと思うので）


例えば、P(x)を3次式としたとき、

　　　　P(x)が、　(x-α)(x-β)(x-γ)　と因数分解できたとすると、

　　　　αβγ　は　P(x)の定数項ですね。
　　　　～～～～～～～～～～～

なので、　α　は定数項の約数　になるわけです。



例えば、
（ア）　x^3+6x^2+11x+6 であれば、定数項は　6　だから、

　　　　α　の候補は、　±1、±2、±3、±6　です。


（イ）　x^3+4x^2-4x-16　であれば、定数項は　-16　だから、

　　　　α　の候補は、　±1、±2、±4、±8、±16　です。


（ウ）　4x^3-4x^2-11x+6　であれば、定数項は　6　だから、

　　　　α　の候補は、　±1、±2、±3、±6　です。
　　　　(最高次数の係数が 1 以外の 4 ですが、(i)を使って解けます)




余談ですが、
P(x)＝０の解に１つでも整数解があれば、(i)の方法で解けます。
　　　　　　　～～～～～～～～～～～


P(x)＝０の解に整数解が１つもなければ(解が分数になる場合）、(ii)の方法になります。

（エ）　4x^3+9x^2-15x+3　であれば、定数項が　3　だから、

　　　　α　の候補は、　±1、±2、±3　ですが、これでは　0　にはならないので、(ii)の方法を使うことになり、

　　　　最高次数 x^3 の係数が　4　で、　4の約数　は 1、2、4　だから

　　　　α　の候補は、上記以外の　±1/2、±3/2、±1/4、±3/4　になります。

No.6 回答者： 毎日霊障 回答日時： 2017/04/17 14:54

1．ax^2+bx+cを因数分解する。

(x-α)(x-β)
因数分解の値がみつからないなら、
2．ax^2+bx+c=0として解の公式を使う。[x-{-b+√(b^2-4ac)/2a}][x-{-b-√(b^2-4ac)/2a}]

No.5 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/04/17 07:05

>>＝0にする時のxを決めるのは勘ですか？

勘で正解。問題を沢山練習すると、パッと解る様になる。
と言うか、解る様に問題が作られている。

実社会での設計計算とかでは、問題は作られて居る訳じゃ無いから、パッとは解らない。試行錯誤やニュートン法などで近似値を求める。

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2017/04/16 23:15

x²+x-2を因数分解したい場合でしたら、

まず、パッと見て、x=1を代入したら=0になるね！

一般には、定数項、素因数分解したときの数字で、この場合は、
±1 ±2 を代入しよう！

No.3 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/04/16 22:49

関数f(x)=因数A*因数B＝0

である時、因数A=0 or 因数B=0
この時0となる因数が定数であれば、関数f(x)は常に0、つまり定数であるので、そもそも関数ではない。
よって　因数A=関数g(x)=0 or 因数B=関数h(x)=0　である。
長くなるので=0である方を因数Aとし、もう一方を因数Bとする。
この時x=aにおいてf(x)=0となった場合、
x-a=0なので
因数A=関数g(x)=0=x-a
と考える事ができる。
よって関数f(x)=(x-a)*因数Bと表すことができ、x=aの時f(x)=(a-a)*因数B=0である。

そしてx=bにおいてもf(x)=0であった場合、
f(x)=(x-a)(x-b)*因数C
更にx=cにおいてもf(x)=0であった場合、
f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)*因数D
という風に考える事ができる。
因数は（xの解の数+1）個考える事ができ、
最後の1個は0以外の定数である。

「因数を見つける方法」というのが、=0となる方の因数を言っているのか、もう一方の方を言っているのかわからないが、
=0となる方を見つける方法であれば、
①それらしい値を代入して確かめる
②解の公式等を利用して解を求め、その解を利用して因数とする
③前提条件として問題文中に書かれている
等でしょうか。
もう一方の方の事であれば、
f(x)を=0となる方の因数で割れば良いのです。
因数であるからには必ずf(x)を割り切ることができます。

No.2 回答者： あいうえお700 回答日時： 2017/04/16 22:48

数学の先生いわく

高校では5～-5くらいにあるそうなので地道にするしかないですね

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/04/16 22:12

f(x)=0の時にxに色々代入して結果が0になる物が有ったら、因数には(x-代入した値）があると言う事。

x²+x-2を因数分解したいとする。
x²+x-2=0の時、xに1を代入すると、
1²+1-2 = 2-2 = 0となる。

だからx²+x-2は、(x-1)で割り切れる。
∴x²+x-2=(x-1)(x+2)と書ける。

この回答へのお礼

＝0にする時のxを決めるのは勘ですか？

お礼日時：2017/04/16 22:33