【数学II】
因数定理で因数を見つける方法を教えて下さい!!

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A 回答 (7件)

P(α)=0 になれば、



P(x) は x - α を 因数にもつ わけですが、


この α の候補は、

(i) P(x)の最高次数の係数が 1 のときは、
 
  ±(定数項の約数)


(ii) P(x)の最高次数の係数が 1以外 のときは、
 
  ±(定数項の約数)/(最高次数の係数の約数)

と、覚えていればいいと思いますよ。((i) だけでも構いません、学校の試験で、(ii) を使って解く可能性が低いと思うので)


例えば、P(x)を3次式としたとき、

    P(x)が、 (x-α)(x-β)(x-γ) と因数分解できたとすると、

    αβγ は P(x)の定数項ですね。
    ~~~~~~~~~~~

なので、 α は定数項の約数 になるわけです。



例えば、
(ア) x^3+6x^2+11x+6 であれば、定数項は 6 だから、

    α の候補は、 ±1、±2、±3、±6 です。


(イ) x^3+4x^2-4x-16 であれば、定数項は -16 だから、

    α の候補は、 ±1、±2、±4、±8、±16 です。


(ウ) 4x^3-4x^2-11x+6 であれば、定数項は 6 だから、

    α の候補は、 ±1、±2、±3、±6 です。
    (最高次数の係数が 1 以外の 4 ですが、(i)を使って解けます)




余談ですが、
P(x)=0の解に1つでも整数解があれば、(i)の方法で解けます。
       ~~~~~~~~~~~


P(x)=0の解に整数解が1つもなければ(解が分数になる場合)、(ii)の方法になります。

(エ) 4x^3+9x^2-15x+3 であれば、定数項が 3 だから、

    α の候補は、 ±1、±2、±3 ですが、これでは 0 にはならないので、(ii)の方法を使うことになり、

    最高次数 x^3 の係数が 4 で、 4の約数 は 1、2、4 だから

    α の候補は、上記以外の ±1/2、±3/2、±1/4、±3/4 になります。
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1.ax^2+bx+cを因数分解する。

(x-α)(x-β)
因数分解の値がみつからないなら、
2.ax^2+bx+c=0として解の公式を使う。[x-{-b+√(b^2-4ac)/2a}][x-{-b-√(b^2-4ac)/2a}]
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>>=0にする時のxを決めるのは勘ですか?



勘で正解。問題を沢山練習すると、パッと解る様になる。
と言うか、解る様に問題が作られている。

実社会での設計計算とかでは、問題は作られて居る訳じゃ無いから、パッとは解らない。試行錯誤やニュートン法などで近似値を求める。
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x²+x-2を因数分解したい場合でしたら、


まず、パッと見て、x=1を代入したら=0になるね!

一般には、定数項、素因数分解したときの数字で、この場合は、
±1 ±2 を代入しよう!
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関数f(x)=因数A*因数B=0


である時、因数A=0 or 因数B=0
この時0となる因数が定数であれば、関数f(x)は常に0、つまり定数であるので、そもそも関数ではない。
よって 因数A=関数g(x)=0 or 因数B=関数h(x)=0 である。
長くなるので=0である方を因数Aとし、もう一方を因数Bとする。
この時x=aにおいてf(x)=0となった場合、
x-a=0なので
因数A=関数g(x)=0=x-a
と考える事ができる。
よって関数f(x)=(x-a)*因数Bと表すことができ、x=aの時f(x)=(a-a)*因数B=0である。

そしてx=bにおいてもf(x)=0であった場合、
f(x)=(x-a)(x-b)*因数C
更にx=cにおいてもf(x)=0であった場合、
f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)*因数D
という風に考える事ができる。
因数は(xの解の数+1)個考える事ができ、
最後の1個は0以外の定数である。

「因数を見つける方法」というのが、=0となる方の因数を言っているのか、もう一方の方を言っているのかわからないが、
=0となる方を見つける方法であれば、
①それらしい値を代入して確かめる
②解の公式等を利用して解を求め、その解を利用して因数とする
③前提条件として問題文中に書かれている
等でしょうか。
もう一方の方の事であれば、
f(x)を=0となる方の因数で割れば良いのです。
因数であるからには必ずf(x)を割り切ることができます。
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数学の先生いわく



高校では5~-5くらいにあるそうなので地道にするしかないですね
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f(x)=0の時にxに色々代入して結果が0になる物が有ったら、因数には(x-代入した値)があると言う事。



x²+x-2を因数分解したいとする。
x²+x-2=0の時、xに1を代入すると、
1²+1-2 = 2-2 = 0となる。

だからx²+x-2は、(x-1)で割り切れる。
∴x²+x-2=(x-1)(x+2)と書ける。
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この回答へのお礼

=0にする時のxを決めるのは勘ですか?

お礼日時:2017/04/16 22:33

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