P(x),Q(x)が整式R(x)を共通因数に持つときR(x)は2次以上ではないことをしめせ

問題文全体では
「p,qは相異なる実数である。P(x)=x^2+px+qとQ(x)=x^2+qx+pは、1次以上の整式R(x)を共通因数に持つときR(x)は2次以上ではないことをしめせ。」

私の子供は以下のように解答しましたが×でした。。
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p≠qよりP(x)≠Q(x)である。
今、R(x)=ax^2+bx+c(a≠0)とすると、
P(x)=1/a・R(x)=x^2+b/ax+c/a
Q(x)=1/a・R(x)=x^2+b/ax+c/a
となり、P(X)=Q(X)となる。
よって、P(x)≠Q(x)に矛盾する。
したがって、R(x)は2次式ではない。…①

P(x)、Q(x)は2次式なので因数のR(x)は3次式以上ではない。…②

①②よりR(x)は2次以上ではない。
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模範解答は
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R(x)が2次以上と仮定する。
P(x),Q(x)が2次式であることからR(x)は高々2次なので
R(x)=ax^2+bx+c(a≒0)
とおける。
このとき、P(x),Q(x)はR(x)の実数倍であるので、k,lを実数として
P(x)=x^2+px+q=k(ax^2+bx+c)
Q(x)=x^2+qx+p=l(ax^2+bx+c)
と表せ、これが恒等的に成り立つので、係数比較をして
ka=la=1…①
p=kb=lc…②
q=kc=lb…③
①とa≠0より、k=l=1/aであるが、このとき②と③より、p=q=b/a=c/aとなりp≒qに矛盾する。
ゆえに背理法からR(x)は2次以上ではありえない。
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私は、子供の答案と模範解答は実は同じことを言ってるのではないかと感じております。

そこで、
１）子供の解答は数学的に正しいのか？間違ってるのか？
２）数学的に間違いなのであれば、どうただすべきか？
３）数学的に正しいのであれば、答案記述的な問題は奈辺にあるのか？
について、おわかりの方がおられましたら、何卒よろしくお願い申し上げます。

No.3 回答者： usa3usa 回答日時： 2017/04/20 22:44

No2です。

すいません、訂正します。

＞＞１）子供の解答は数学的に正しいのか？間違ってるのか？
＞「今、R(x)=ax^2+bx+c(a≠0)とすると、」と切り出しているところがNG。

どんな仮定を置くのも自由ですので、「数学的に」は誤りではないですね。

数学の答案としては、論拠の記載が望ましい、という教育的配慮により×が付いたと思います。

この回答へのお礼

「数学的に」は誤りではない
教育的配慮により×

というご指摘ありがとうございました。

今後ともによろしくお願い申し上げます。

お礼日時：2017/04/29 23:31

No.2 回答者： usa3usa 回答日時： 2017/04/20 22:10

＞１）子供の解答は数学的に正しいのか？間違ってるのか？

「今、R(x)=ax^2+bx+c(a≠0)とすると、」と切り出しているところがNG。

＞２）数学的に間違いなのであれば、どうただすべきか？
R(X)をこのように仮定する論拠を模範解答のように記載する。

No.1 回答者： sc348253 回答日時： 2017/04/17 00:23

1)間違い！ 3) p(x)とq(x)だ最初から同じと設定してあるから！おかしく証明にならない！

2) 模範解答は、問題文の意味をきちんと理解したあとで、設定してあり、矛盾をみちびきだしてある！つまり、
お子さんの設定は、p(x)もg(x)も、1/a R(x)と同じに設定してある点がおかしい！
P(x)とQ(x)は、共通因子を持ちながら、違うと設定してあります！
矛盾によっては、設定の仕方がおかしいとする証明方法である！

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。

模範解答のように、「p≒qに矛盾する。」を導くべきですね。

今後ともよろしくお願いします。

お礼日時：2017/04/18 08:27