既約分数の和の求め方

■問題１
0と1の間にあり、分母が81で分子が５の倍数である分数の和は？
■問題２
3より大きく7より小さい、分母が35の分数の中で約分できない分数の和は？

■解答１
81=3×3×3×3より、
分子が3の倍数以外かつ5の倍数となる以下の分数
5,10,20,25,35,40,50,55,65,70,80（分子のみ）
分数の和は、
5+10+20+25+35+40+50+55+65+70+80=455より
455÷81（答え）
■解答２
約分できない分数は、分子が以下となる分数
106,107,108,109,111,113, ... ,243,244 （計96個）
両端から２つずつ組にすると、(106,244),(107,243)のように
すべての組で和が350となる。
組は96÷2=48組あるので、
分数の和は、
350÷35×48=480（答え）

■質問
和の求め方について、
問題１では分子を地道に足し合わせ、
問題２では分子の最小と最大を足して組数をかける方法を使っています。
後者の求め方が使える条件は、
「規則性のある数列の場合」と思っていたのですが、
問題２の数列も規則性がありません。
（106,107,108,109,111,113, ... ,243,244 　は間隔が1だったり2だったりする）

なぜ問題２では最小と最大を足して組数をかける方法が利用できたのでしょうか？
この方法が利用できる条件は
「規則性のある数列の場合」ではないとれすれば何でしょうか？

（数列の個数が奇数個/偶数個の違いかとも思いましたが、
規則性のある数列の場合は、奇数個/偶数個どちらでも可能と思います。
例：
11,14,17の和は、
=(11+17)×3÷2
=42）

以上、よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/05/09 05:29

規則性があります。

106～244までの数を並べて、5の倍数、７の倍数を除外した192個は、
106,107,108,109,111,113,116,117・・・・。　244から降順では
244,243,242,241,239,237,236,234・・・・。

間隔が1だったり2だったりする様子が、鏡で写した様に対称になります。
だから両端から２つずつ組にすると全組とも和が350です。

但し、この規則性に気が付いて、確かにそうなる根拠を、中・高生に即座に見つけさすのには疑問を感じます。

この回答へのお礼

お礼が遅くなりました。
規則性があるとは気づきませんでした。
中学受験でこれに気付かないといけないのはキツイ。。
子供への説明の仕方が悩ましいところです。
ありがとうございます。

お礼日時：2017/05/13 09:55

No.2 回答者： 20170130 回答日時： 2017/05/09 11:28

適切ではないかもしれませんが、並んでいる数字にマークを付けていくことをイメージしてみて下さい。

1から19まで並べて4の倍数をマークする場合、マークされるのは
4 (0+4), 8 (0+8), 12 (20-8), 16 (20-4) となって、ペアを作って計算するときにペアとなる数字が選ばれるのがわかると思います。
これは、区間(この説明では、1から19 または 0から20)とマークの間隔(この説明では4)がうまく合ったためで、区間を1から10にしたり、マークの間隔を3にしたりするとうまくいかなくなります。

問題１では、1から80にたいして、5と15を考えているのでうまくいかないのですが、
問題２では、106から244 (105から245)にたいして、5と7 (と35)を考えているのでうまくいけてます。

参考として解説とは少し違うやり方で解いた例を書いておきます。
問題２
106から244の139個の合計は (106+244)*139/2
このうち
5の倍数は　110から240の27個で その合計は (110+240)*27/2
7の倍数は　112から238の19個で その合計は (112+238)*19/2
35の倍数は　140から210の3個で その合計は (140+210)*3/2

よって求める分子の合計は、　350*(139-27-19+3)/2 = 350*48

問題１
分子の数として90まで考える(余分に85を付け足す)
5の倍数であって3の倍数ではないのは
5,10,20,25,35,40,50,55,65,70,80,85 の12個だから
合計は、90*12/2 = 540
余分に付け足した85を引いて、540-85 = 455

この回答へのお礼

お礼が遅くなりました。
ありがとうございます。

お礼日時：2017/05/13 09:55

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/05/09 19:00

106～244までの数を並べて、5の倍数に印を付けると最初は5番目。

その後は5個に1回(間4間隔)に印が付きます。

次に106～244までの数を降順に並べると、最初は5番目に印が付きます。
その後は5個に1回(間4間隔)に印が付きます。

106～244までの数を並べて書き、その下に降順を書くと
左から見て、同じ位置に印が付きます。


7の倍数でも同じです。

印の位置を除外すると、上下の数の合計は必ず、和が350。
この組の数は5の倍数の個数+7の倍数の個数-35の倍数の個数。

∴合計=350×組の数/2で計算出来ます。

106～244が、5の倍数、7の倍数、で上手く行く様に問題が作られています。