電磁気の静電容量の問題について

以下の静電容量を求める問題がわからないため、ご教示いただけると幸いです。

誘電率ε0の真空中に、２つの円筒極板AとBがあり、Aの外半径はa、Bの内半径はbである(a<b)。２つの極板の中心軸は一致しており、長さはLであり、高さも一致している。また、上下の端部の効果は無視できる。
電界は外向きを正とし、電位は極板Aを基準とする。
極板の間に一定の電圧を加えたところ、極板Aに-Q、極板Bに+Qの電荷が蓄えられた。
次に、極板Aと半径c(a<c<b)の同軸円筒面の間を誘電率ε1、そこから極板Bまでを誘電率ε2(<ε1)の誘電体で満たした。極板の間の静電容量を求めよ。
写真のようなイメージです。

まず誘電体のない状態の電場E、電位V、静電容量Cを考えてみたところ
E(r)=-Q/2πLε0r (a<r<b)
V=Q ln(b/a)/2πLε0
C=2πLε0/ln(b/a)
となりました。
これは正しいでしょうか？

また、誘電率ε1の誘電体で満たされているところの静電容量をC1とすると、
C1=(ε1/ε0)*C
としていいのでしょうか？
半径が違うので、ダメな気がしています…。
C1=ε1 S/dの公式を使うのでしょうか？

ご回答お待ちしております。
よろしくお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： ナッキーナッキー 回答日時： 2017/05/28 19:21

誘電体が入っていない場合の計算はＯＫです(^^)

誘電体が入っている場合は、やはり半径が違うのでC1=(ε1/ε0)C とはできません(・・;)
また、ε1 S/d は平行板コンデンサーの場合の式ですから、これを使う事もできません（-∩－　）
そこで、電束密度Dを使って計算します(^O^)
電束密度Dは誘電体の境界面の法線成分は連続、つまり値は一定ですから、
この問題の場合、誘電率が異なっていても電束密度Dは一定になります(◎◎！)
その値は、　D(r)=-Q/2πLr　ですから（電束密度Dに対するガウスの法則から出てきます）、電界は
E(r)=-Q/2πLε1r　a<r<c
E(r)=-Q/2πLε2r　c<r<b
となります(・ー・)
誘電体が無い場合の計算ができているので、後の計算手順は説明する必要はありませんよね(^^)
とりあえず、結果を記しておくと
C=2πL/{(1/ε1)ln(c/a) + (1/ε2ln(b/c)}
となります(´∀｀)

参考になれば幸いです(^^v)

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
電束密度の存在をすっかり忘れていました…
説明もわかりやすくとても参考になりました。

お礼日時：2017/05/28 21:01