大学数学 同値類

同値類の問題です。
2a+b≡0(mod3)
の同値類[0].[1].[2]を求めなさい

をどなたか解説付きでお願いします、同値類がよく分かってません

No.1 回答者： horahukisann2017 回答日時： 2017/06/02 16:12

わからないです。

3 で割った余りで分類するのでしょうか。

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/06/03 11:34

2a+b≡0(mod3)より2a≡-b(mod3)

0≡3b(mod3)だから、辺々を足すと
2a≡2b(mod3)
2と3が互いに素だから、両辺を2で割る事が許されるから
a≡b(mod3)

だから、同値関係は明らかで、同値類は、3の剰余類となる。

[0]=(・・0,3,6,9・・・・・・,3n,・・)
[1]=(・・1,4,7,10・・・・・・,3n+1,・・)
[2]=(・・2,5,8,11・・・・・・,3n+2,・・)

同値類をザックリ簡単に言うと
集合xの元が、同値関係として定式化される同値の概念を持つとき，集合ｘ を同値類と言います。

上の例では、整数の集合の要素代表をa,bで表したとき、
a≡b(mod3)は3で割った余りが同じものと言う意味。

整数の中で3で割り切れる数の集合が同地類[0],
3で割ると1余る数の集合が同地類[1],
3で割ると2余る数の集合が同地類[2]という意味です。

[0]∩[1]∩[2]=∅
[0]∨[1]∨[2]=整数全体
となっているので、[0],[1],[2]は確かに同値類です。

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/06/03 12:35

No.2 必要無いかも知れませんが、チョットだけ付け足します。

各同値類[0],[1],[2]は a≡b(mod3)ですが、
蛇足で2a+b≡0(mod3)を確認すると、
[0]の任意の要素で2a+b≡0(mod3)が成立します。
2･3+6=9, 2･3+9=15,・・・と3で割り切れる

[1]の任意の要素でも2a+b≡0(mod3)が成立します。
2･1+4=6, 2･4+7=15,・・・と3で割り切れる

[2]の任意の要素でも2a+b≡0(mod3)が成立します。
2･2+5=9, 2･5+8=18,・・・と3で割り切れる