関数方程式 f(p)=apの証明 関数方程式の連続性の証明 関数 Ｆ(Ｘ) が、 (i)任意のX,Y

関数方程式 f(p)=apの証明

関数方程式の連続性の証明




関数 Ｆ(Ｘ) が、
(i)任意のX,Y∈Rに対して、Ｆ(Ｘ＋Ｙ)＝Ｆ(Ｘ)＋Ｆ(Ｙ) を満たす
(ii)関数 Ｆ(Ｘ) が、Ｘ＝０ で連続である。

f(1)=a(≠0)とする。このときfはp∈Q(有理数)に対して
f(p)=ap
と表されることを示せ。



という問題です。
nが自然数のときf(n)=anとなることは(i)を繰り返し使うことで示せるのですが、有理数のときに示す方法がわかりません。

有理数の場合どうすればいいか教えてください❗️



ある点で連続であることを示す方法は知っていますが、この場合任意の点なのでどうやって示せばいいかわかりません。
lim[x→x']f(x)=f(x')を示せばいいのでしょうか？

解答とともに教えてください！

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/06/08 18:07

前に整数Zの場合に同じ質問を見た記憶がチラッとある気がします。

長~くなるけど、Z,Q,R全部まとめて・・・・。
http://mathtrain.jp/cauchy_func
をつぶさに読むと納得できます。

f(0)=f(0)+f(0)だからf(0)=0

f(x)がx=0で連続なので
lim(x→0+0)f(x)=lim(x→0-0)f(x)=f(0)=0

f(x+δ)=f(x)+f(δ)だから
lim(δ→0+0)f(x+δ)=f(x)+lim(δ→0+0)f(δ)=f(x)
lim(δ→0-0)f(x+δ)=f(x)+lim(δ→0-0)f(δ)=f(x)
f(x)がx=0で連続ならすべての点で連続。

f(1)=aなので
f(n+1)=f(n)+f(1)=f(n)=a=a(n+1)-an
f(n+1)-a(n+1)=f(n)-an=f(0)=0
∴n∈Z:f(n)=an

0≦x≦1で f(x)＝f0(x) f(0)=f0(0)=0,f(1)=f0(1)=a
ならf(x)=f0(x-[x])+a[x]

x=p/q p,q∈N q>0,0≦p≦qとした場合。
f(1)=f(q/q)=qf(1/q)=a
f(1/q)=a/q

f(0/q)=0
f(1/q)=a/q
f(2/q)=f(1/q)+f(1/q)=a(2/q)
f(3/q)=f(2/q)+f(1/q)=a(3/q)
・
・
・
f(p/q)=ap/q
・
∴f(q/q)=a

f(x)=f0(x-[x])+a[x]だったから
f(x)=ax (x∈Q)

ｆ(x)の連続性と実数の連続から
f(x)=ax（x∈R)