誘電率について質問します

k=1/4πε

という式は証明可能なのでしょうか?

εは誘電率という意味で、kはクーロン力の比例定数です

質問者からの補足コメント

  • ご回答ありがとうございます

    1/4πという数字はどのように導き出されるものなのでしょうか?

    誘電率は物理的に計測できるものであるというのはわかります

    電位や電場の値が誘電率に比例しそうだなということもなんとなくわかるのですが、1/4πというのはどこから来るのでしょうか…?
    経験的な数値でしょうか?

      補足日時:2017/06/19 16:50

A 回答 (5件)

No.4です。

失礼しました。

>No.1です。

は間違いで、

No.2 です。

が正しいです。

#1さん、失礼しました。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます!

とてもわかりやすかったです
1/4πがどこから出てきたか、kとεの関係、どちらも分かりました!

ありがとうございました!

お礼日時:2017/06/19 18:41

No.1です。



>1/4πという数字はどのように導き出されるものなのでしょうか?

点電荷が作る磁場は、電荷を中心とした点対称で、どの半径の球面の表面積をとっても「電気力線」の本数は同じになります。

点電荷 Q1 から発する電気力線の本数を Q1*N 本とすると、どんな半径においても、電気力線の球面全体の合計は Q1*N 本で一定です。半径 r の球の表面積は 4パイr² ですので、この半径での「単位面積当たりの電気力線の数」(電気力線密度)は
  Q1*N / 4パイr²
になります。
この「電気力線密度」が「電場の強さ」に相当するので、点電荷 Q1 から r だけ離れた地点の電場の強さを
  E(r) = Q1*N / 4パイr²   ①
と定義します。(このときに、N をどんな値にすればよいかは保留としておきます)

もう、ここで何故「1/4パイ」が出てきたのか分かりましたよね? 

最後までやれば、ここに別な電荷 Q2 を持ってくると、その電荷に働く力は
  F = E(r) * Q2   ②
となります。「電場の強さ」は、そのように定義しましたから。
http://wakariyasui.sakura.ne.jp/p/elec/dennba/de …

ということで、②に①を代入すれば
  F = Q1*Q2 *N / 4パイr²
となります。

これは、電荷間に働く力であるクーロンの法則
  F = k*Q1*Q2/r²
と同じ形をしていて、
  k = N / 4パイ
が対応します。

ここで、上で「保留」としておいた「N」を N = 1/ε と表わせば、
  k = 1 / 4パイε
になることが分かります。つまり、この誘電率「ε」とは

「Q クーロンの電荷からは、Q/ε 本の電気力線が出る」

という意味のものなのでした。「電気力線の数」というとちょっとあいまいですが、「電荷」とその電荷が作る「電場の強さ」の間を媒介する定数と考えればよいです。マックスウェルの方程式では、電場の「発散:div」が
  divE = ρ/ε
(ρ:電荷密度 [ C/m³ ])
という風に表わされます。
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証明可能か?というよりは、このように決めてしまったって事です(^^;)


このようにしておくと、大学で勉強する電磁気学の式が簡潔になるんですね(-_-)
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kはクーロンの法則(2つの電荷間に働く力)の比例定数です。



1/4πε は点電荷の作る電場の定数です。この電場の中に別な電荷を置けば、クーロンの法則と同じ力が働きます。

証明も何も、「同じもの」を別な方式で表記しただけです。
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物理に出てくる式全般に言えることですが、比例係数というものは使用している単位に依存します。


たとえばニュートンの運動方程式として
F=ma
というものがありますが、これはSI単位系を使うことが前提の式であり他の単位系では単位に合わせた係数がつきます。

この場合もそうで、これはSI単位系を使っているために基本的な方程式(Maxwell方程式等)から得られるものとなります。
単位の定義(m,kg,s,A)と基本的な方程式からクーロンの式の係数を導くことができます。
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