自分は、数学Aの、2,3,4,5,6,7,8,9,の倍数の判定方法の証明(教科書に載っているもの)を

解決済

質問者：satosi。
質問日時：2017/08/16 10:03
回答数：2件

自分は、数学Aの、2,3,4,5,6,7,8,9,の倍数の判定方法の証明(教科書に載っているもの)を理解したのですが、あの証明は何か論理的な考えがあって作られたのか、それとも試行錯誤して作られたのか、ということを知りたいです。もし論理的な考えがあるのならその論理の積み上げかたを学びたいと思うのですが。回答よろしくお願いします。

通報する

この質問への回答は締め切られました。

質問の本文を隠す

回答 (2件)

ベストアンサー優先
最新から表示
回答順に表示

No.2ベストアンサー

回答者： t_fumiaki
回答日時：2017/08/16 11:02

理論と言う程のものでは無い。

現在使っている表記法が10進数の位取り表記法であるから、それを数学的に表現すれば必然的にわかる。

例えば、12345と言う数字は、単に1～6の数字記号が並んだものだから、そこから先へ進むには数学で表現する。

12345の意味は1×10⁴ + 2×10³ + 3×10² + 4×10¹ + 5×10⁰の事。
これを変形してやると
1×10⁴ = 1×(10⁴-1)+1 = 1×9999 + 1
2×10³ = 2×(10³-1)+2 = 2×999 +2
3×10² = 3×(10²-1)+3 = 3×99 +3
4×10¹ = 4×(10¹-1)+4 = 4×9 +4
5×10⁰ = 5

全部足すと
{3(1×3333) + 3(2×333) + 3(3×33) + 3(4×3)} + (1+2+3+4+5)

{}の中は3で割り切れるから、全体を3で割ると余り=(1+2+3+4+5)

(1+2+3+4+5)は15だから3で割り切れる。

つまり、各桁の合計が3で割り切れれば、この数値は3で割り切れる。
つまり3の倍数。

また、変形方法を変えてみる。
全部足すと
{9(1×1111) + 9(2×111) + 9(3×11) + 9(4×1)} + (1+2+3+4+5)
となって{}は9で割り切れる

だから1+2+3+4+5が9で割り切れれば、この数値は9の倍数。
1234567890の10桁の数値は9の倍数で有る事が解る。

変形の仕方によって、2の倍数、4の倍数、・・・・の条件が直ちに解る。