次の問題の解説をお願いします。 sin(nθ)=0 かつ cos(nθ)=1 を満たす最小の自然数n

次の問題の解説をお願いします。

sin(nθ)=0 かつ cos(nθ)=1
を満たす最小の自然数nが16であるとき、θの値を求めよ。

質問者からの補足コメント

• 書き忘れましたが、
  θの範囲は、0≦θ＜2π です。
  
  ちなみに解は、
  θ＝mπ/8 （m＝1,3,5,7,9,11,13,15）
  です。

    補足日時：2017/08/29 08:54

• すみません。θの範囲を書き忘れました。
  0≦θ＜2π です。

    補足日時：2017/08/30 07:01

No.1 回答者： mコアラ 回答日時： 2017/08/29 00:00

sin(nθ)=0かつcos(nθ)=1をみたす最小の自然数nが16という条件より、θ=0という選択肢は消えます。

ここで、0の次にsin(nθ)=0かつcos(nθ)=1を満たす可能性のあるnθは、2πです。よって、nθ=2πとなります。最小のnは16なので、16θ=2πすなわちθ=8分のπです。

No.2 回答者： sasa-san 回答日時： 2017/08/29 00:43

sin0=0, cos0=1 がわかっていれば、

あとはちょうど一周分である2πを何回か回転させたものも
解になることがわかります。

つまり、kを整数として
sin(0+2πk)=0, cos(0+2πk)=1
が成り立ちます。

問題は、sin(nθ)=0 かつ cos(nθ)=1 が
n=16 で成り立つのだから、
sin(0+2πk)=sin(16θ)
という関係が成り立てばよいのです。よって、
2πk=16θ
θ=2πk/16=k× π/8

ここでn=16で最小になるという条件を満たすには、
k=±1 である必要があります。
（k=±1 ということは一周目でsin(16θ)=0 ということです。
　それ以外の場合、nが16より小さい数値でも成り立ってしまいます。）

したがって、
k=1のとき（反時計回りの場合）
θ=π/8
k=-1のとき（時計回りの場合）
θ=-π/8
すなわち、θ=±π/8
が解答になります。

No.3 ベストアンサー 回答者： sasa-san 回答日時： 2017/08/30 03:55

なるほど。

自然数限定ということを忘れていました。
つまり、nmπ/8 が 2πの倍数になるには、
自然数倍という制限において、nmに 2^4 という因数が必要になるわけですね。

ですので、mが偶数であると、
必ず n=8=2^3 のときに、nθが2πの倍数になってしまう。
奇数であればその制限がなくなると。

そういうことであれば、θの範囲 (0≦θ＜2π) を踏まえて、
No.2の解答の途中から書き換える必要がありますね。



～中略～
ここでn=16で最小になるという条件を満たすには、
nθ が、nが1~15までの自然数において
2πの整数倍にならないことが条件になります。
よって
nθ =nk × π/8 =nk/16 ×2π
として、nが1~15までの自然数において、
nk/16 が整数にならないことだと言い換えることができます。

nk/16 が整数にならないためには、
nkの因数が16=2^4を含まないことでもあるので、
nが1~15までの自然数であることから
n=8=2^3 のとき最大の因数2^3を含むことがわかる。
さらにkが偶数であれば、nkの因数が2^4を含んでしまうことになる。
したがって、nkの因数に2^4が含まれないために、
kは奇数でなければならない。　…①

一方で、θの範囲が0≦θ＜2πであるから
θ=k × π/8 より
0≦k × π/8＜2π を満たす必要があるので、
kは0から15までの整数である必要がある。　　…②

この二つのことから、kの取り得る数値は
k={1,3,5,7,9,11,13,15}　だとわかります。

ゆえに、θの値は
θ=k × π/8
k={1,3,5,7,9,11,13,15}
となります。


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なかなかの難問でした。

この回答へのお礼

丁寧な解説をしていただき、誠にありがとうございます。
やっと理解することができました。

お礼日時：2017/08/30 07:21