cos4乗dxの答えの導き方がわかりません

cos4乗dxの答えの導き方がわかりません

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2017/09/15 00:34

積分？

cos⁴(x) = [ cos²(x) ]² = [ (1 + cos(2x) )/2 ]²
= [ 1 + 2*cos(2x) + cos²(2x) ] / 4
= 1/4 + (1/2)cos(2x) + (1 + cos(4x) )/8
= 3/8 + (1/2)cos(2x) + (1/8)cos(4x)

これを積分すればよい。

∫cos⁴(x) dx
= ∫(3/8)dx + (1/2)∫cos(2x)dx + (1/8)∫cos(4x)dx
= (3/8)x + (1/4)sin(2x) + (1/32)sin(4x) + C
（C は積分定数）

(注）cos(nx) の積分は t=nx とおいて
　dt/dx = n
より
　dx = (1/n)dt
なので
　∫cos(nx) dx = (1/n)∫cos(t) dt = (1/n)sin(t) + C = (1/n)sin(nx) + C