ある領域と三角関数に関する数学問題だ

次の図のように
a＞１とする。２つの不等式

No.1 ベストアンサー 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2017/11/07 22:44

S=∫[0→t]acos3x dx － t×1

=[(a/3)sin3x][0→t] － t
=(a/3)sin3t－t　･････　①

ここで
acos3x=1 を満たすｘの値がｔだから
acos3t=1
a=1/cos3t　･････　②
②を①に代入して
S=sin3t/3cos3t－t

S+T=∫[0→π/6]acos3x dx
=[(a/3)sin3x][0→π/6]
=(a/3)－0
②を代入して
S+T=1/3cos3t

f(t)=T－S　とおくと
f(t)=(S+T)－2S
=1/3cos3t－2(sin3t/3cos3t－t)
={(1－2sin3t)/3cos3t} + 2t

f' (t)=[{－6cos3t･cos3t－(1－2sin3t)･(－3sin3t)} / 3cos^2 3t] + 2
={－6cos^2 3t+3(1－2sin3t)sin3t+6cos^2 3t)} / 3cos^2 3t
=(1－2sin3t)･(－3cos3t) / 3cos^2 3t
=3(1－2sin3t)sin3t / 3cos^2 3t
=(1－2sin3t)sin3t / cos^2 3t

f' (t)=0 とおくと
sin3t=0, 1/2
3t=0, π/6
t=0, π/18

増減表

t　｜0｜　　　｜π/18｜　　　｜π/6
ーーーーーーーーーーーーーーーーーー
f' ｜0｜　＋　｜　0　｜　－　｜
ーーーーーーーーーーーーーーーーーー
f　｜ ｜　↗　｜ 極大 ｜　↘　｜
　　　　　　　　 かつ
　　　　　　　　 最大

f(t) は t=π/18 のとき　極大かつ最大
このとき、ａの値は②より
a=1/cos(π/6)=1/(√3/2)=2/√3=2√3/3
最大値は
f(π/18)=[{(1－2sin(π/6)}/3cos(π/6)] + π/9
=π/9