下の問題を教えてください!



原点で垂直に交わる傾きが0でない2直線と放物線y=x^2の原点以外の交点をA.Bとする。距離ABの最小値を求めよ。

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A 回答 (2件)

直線をy1₌axとすると直交するy2=-1/ax


それぞれの交点p、qは
p=y1
x²=ax
x(x-a)=0......x=0、x=a
p=y1
x²=-1/ax
x(x+1/a)=0......x=0、x=-1/a

p、q点の座標はp(a,a²)、q(-1/a,1/a²)
線分A-Bの傾きは yの増分/xの増分 (a²-1/a²)/(a-1/a)=(a∔1/a)(a-1/a)/(a-1/a)=a+1/a
交点を結ぶ直線mは
m=(a+1/a)x∔c
cとは 交点p、あるいはqの座標を入れて求める。
p点を代入すると、a²=(a+1/a)a+c=a²+1+c
c=1
m=(a+1/a)x+1これはy軸の1を支点とした直線であると言える。

ここで図を見るとaの変化を見ることができる。
最小値はmの傾きが0の時 a+1/a=0 a=±1
y1=±x

以上です  変なところがあれば質問どうぞ。
「下の問題を教えてください! 原点で垂直に」の回答画像2
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下図を見てください。



直線OBの式をy=axとすると、直角に交わることから、直交条件よりOAの式は図のように表せます。

なので、Aの座標は(-1/a,1/a^2)、Bの座標は(a,a^2)となるので、

AB^2=(a+1/a)^2+((a^2)-(1/a^2))^2=a^4+a^2+1/a^2+1/a^4

ここからが少しトリッキーですが、

相加相乗平均の関係より、

a^4+1/a^4≧2(等号はa=±1)

a^2+1/a^2≧2(等号はa=±1)

よって、AB^2の最小値は2+2=4となるので、ABの最小値は2。

相加相乗を別々にして足し合わせるのは基本ダメですが、今回は大丈夫です。

その理由は何か?
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