過渡現象の問題です。下記の回路でスイッチを1から2に変えた時、時刻を0として、時刻>＝0のコンデンサ

過渡現象の問題です。下記の回路でスイッチを1から2に変えた時、時刻を0として、時刻>＝0のコンデンサの電圧と回路電流i(t)の過渡反応を求めたいのですが、全くわかりません。ほんとに助けて下さい、お願いします

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2017/11/27 17:36

スイッチ１を閉じて十分長い時間がたてば、コンデンサーは充電されてそれ以上の電流は流れていない状態です。

このときのコンデンサーの電荷は
　Q = C*V
で一定です。

次に、スイッチを１→２に切り替えると、電池は切り離され、コンデンサーに充電されていた電荷が抵抗を通して流れます。この電流は、時間とともに減少し、コンデンサーの電荷がゼロに近づくと小さくなり、やがて十分な時間がたつとコンデンサーの電荷がゼロになって電流もゼロになります。

これを数式で表すと、
　V(t) = R * I(t)
かつ
　I(t) = -dQ/dt = -C*dV/dt
ですから
　V(t) = -CR*dV/dt
これより
　(1/V)dV = -(1/CR)dt
これを積分して
　ln(V) = -(1/CR)t + const
→　V(t) = K*e^( -t/CR)　　　（K=e^const )

t=0 のとき　V(0) = E なので　K=E で
　V(t) = E * e^( -t/CR)
ということになります。

電流は
　I(t) = V(t) /R = (E/R)*e^( -t/CR)
です。

No.3 回答者： jyuguritto 回答日時： 2017/11/30 19:33

昔やっていたラプラス変換でやってみます。

Cには電圧Eまで充電されているとすると、放電時は次の式が成り立つ。
E＝Ri+1/C∫i dt
ラプラス変換すると
E/s=R(Is)+I(s)/Cs
Is=E/s/(R+1/Cs)
=E/R(s+1/CR)
逆ラプラス変換すると
i=E/R e⁻₍t/CR₎

T=CRは時定数と呼ばれる定数になります。最終値の約63.2％になる時間で放電開始時の傾きです。
ゆっくり放電させるには個の時定数を大きくします。

最低限の逆ラプラスは暗記する必要があります。簡単な電気解析には多くを必要とはしません。

参考まで。

No.2 回答者： としろう1234 回答日時： 2017/11/28 12:01

Cに貯まった電荷がR を通して一瞬で放電されるんです。

「一瞬」とはいえ、多少時間はかかり、これを時定数と呼びます。この場合は1/CRです。式は先ほどの回答の方の通りです。