微分方程式x^2y”=xy’-y+xを同次形で解きたいのですが、何をzとおけばよいでしょうか？

微分方程式x^2y”=xy’-y+xを同次形で解きたいのですが、何をzとおけばよいでしょうか？

No.2 回答者： fef 回答日時： 2017/11/29 13:49

解き方はいろいろあると思いますが，

同次形にもっていきたいのであれば，以下のようにすればよいと思います．

とりあえず (y / x) を作ろうと思い，まず，方程式の両辺を x で割って
　x y'' = y' - y / x + 1
とします．
ここで，この式の左辺が
　x y'' = (x y' - y)'
であり，一方，右辺が
　y' - y / x + 1 = (x y' - y) / x + 1
と書けることに注意しましょう．
そこで，次に
　z = x y' - y
とおき，方程式を書きなおすと，
　z' = z / x + 1
となります．
これは同次形ですね．

あとは同次形微分方程式の一般的な解き方で解けるはずです．

No.1 回答者： diff3356 回答日時： 2017/11/29 13:22

(与式) ⇔ (y')' - (y/x)' - (ln|x|)'=0 より、

y' - y/x=ln|x|+C...(*)
これを解いて、
y=(x/2)*{ln|x|}^2 + C*ln|x| + D*x.
(C, D は任意定数)
となります。
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※ (*) は「一階線形」です。