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y=ax^2+bx+c
平方完成する。
y=a(x+b/2a)^2-(b^2-4ac)/4a
y=0,xを求めるから移項して
a(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a
両辺に1/aを掛ける
(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a^2
2乗をはずすからルートを両辺につける
*************
この先どう考えればよいかわかりません。
左辺は±(x+b/2a)
右辺は分母が±2a、分子はルートが残る
ルートによる符号をどのように処理すれば(考えれば)いいのでしょうか?
アドバイスお願いします。

A 回答 (8件)

No.7の補足です。


x^2=3ときx=±√3というのは、
±√x^2=±√3
±x=±√3
これは
+x=+√3 つまり x=+√3
+x=-√3 つまり x=-√3
-x=+√3 つまり x=-√3
-x=-√3 つまり x=+√3
よってx=±√3ということです。(だから右辺にだけ±)

同様に「分母が±2a」の部分も、分子の±、分母の±の組み合わせで、結局全体として分子に±をつければよい(分母の±は不要)ということです。
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(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a^2からの変形を説明します。


x+b/2a=±√{(b^2-4ac)/4a^2}
x+b/2a=±√(b^2-4ac)/√(4a^2)
x+b/2a=±√(b^2-4ac)/2a
x=-b/2a±√(b^2-4ac)/2a
x={-b±√(b^2-4ac)}/2a

x^2=3ときx=±√3となりますね。最初に両辺の平方根を取る時、左辺には±は不要です。(左辺と右辺の±の組み合わせを考えれば、+,+で+,+,-で-,-,+で-,-,-で+となり、結局+と-になるので右辺だけ±をつければよいのです)
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途中からでは、少しややこしいので初めから証明をします。


(やり方も少し違いますがこちらのほうが一般的だと思います。)
[結論]
a,b,cが実数の時、2次方程式ax^2+bx+c=0(a≠0)の解の公式は
x={-b±√(b2-4ac)}/2a
である。
[証明]
ax^2+bx+c=0
ax^2+bx=-c〔∵定数項を右辺に移行する〕
4a^2x^2-4abx=-4ac〔∵両辺に4aをかける〕
4a^2x^2-4abx+b2=-4ac+b2〔∵両辺にb^2をかける〕
(2ax+b)^2=b2+4ac〔∵左辺を因数分解する〕
2ax+b=±√(b2+4ac)〔∵ ^2をはずす(x=・・・にする為)
x={-b±√(b^2-4ac)}/2a 〔∵bを移項し両辺を2aで割り、最終的にx=・・・の形にする。〕
[証明終り]
(^2は2乗√(・・・)は便宜上カッコをつけているだけで実際は普通書かない)

[証明のポイント,補足]
この証明のポイントは方程式の両辺に適当な定数を加えて、左辺を完全平方形に変形して
完全平方式=定数
という形の方程式を作ることである 。
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±→+としなければなりません



要注意

√α
はαが0以上の実数のときには0以上の実数「1つ」を表しますがαが負の実数または虚数ときには「2つ」の虚数を表します

前者の場合には
(-b±√(b^2-4・a・c))/2/a
は正しいが
後者の場合には
(-b±√(b^2-4・a・c))/2/a
は間違いで
(-b+√(b^2-4・a・c))/2/a
とすべきです

後者の場合は√(b^2-4・a・c)がすでに2つの虚数を表しているので-は蛇足なのです

もっとも√(4)=±2となるような定義を√にすれば統一的に
(-b+√(b^2-4・a・c))/2/a
とできます

なお√-1(iの定義ではない)は±i(2つ)であり
√-1=iではありません
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要注意



√α
はαが0以上の実数のときには0以上の実数「1つ」を表しますがαが負の実数または虚数ときには「2つ」の虚数を表します

前者の場合には
(-b±√(b^2-4・a・c))/2/a
は正しいが
後者の場合には
(-b±√(b^2-4・a・c))/2/a
は間違いで
(-b+√(b^2-4・a・c))/2/a
とすべきです

後者の場合は√(b^2-4・a・c)がすでに2つの虚数を表しているので-は蛇足なのです

もっとも√(4)=±2となるような定義を√にすれば統一的に
(-b±√(b^2-4・a・c))/2/a
とできます

なお√-1(iの定義ではない)は±i(2つ)であり
√-1=iではありません
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y=ax^2+bx+cで


y=0とすると、
ax^2+bx+c=0
だから
両辺に4aをかけると
 (最後に分数の処理をするため)
4a^2x^2+4abx+4ac=0
(2ax+b)^2-b^2+4ac=0
(2ax+b)^2=b^2-4ac
2ax+b=±√b^2-4ac
よって
x=-b±√b^2-4ac/2a
と導く方法もよくありますね。
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例えば、x^2=5 という方程式を解くときを考えてみると、 解は x=±√5 となりますよね。


このように、2次方程式では左辺の2乗をはずすときには左辺には±をつけません。

2乗をはずしたあとは、
 x+b/2a=±√(b^2-4ac)/√4a^2
となり、√4a^2=2a ですから 左辺の b/2a を移項して整理すれば解の公式ができあがります。
  
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x^2 = 4のときは,


x=±√4=±2でしたよね.

ですから,

x+b/2a = ±√((b^2-4ac)/4a^2)
=±√((b^2-4ac) /2a

#√4a^2 = ±2aですが,分子の±とのかけ算で,
結局,±×±=マイナスプラス=±
となります.
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