a[1]=1，a[n+1]=2a[n]+3^n+1 で表される数列が、 どうして、a[n+1]-3^

a[1]=1，a[n+1]=2a[n]+3^n+1

で表される数列が、

どうして、a[n+1]-3^(n+1)+1=2(a[n]-3^n+1)

と変形できるかを教えて欲しいです…。

No.1 回答者： sc348253 回答日時： 2017/12/18 19:50

漸化式と特性方程式に関する考察

＜隣接２項漸化式＞
特性方程式
　漸化式　ａn+1＝ｂａn＋ｃ　に対して、ｘ＝ｂｘ＋ｃ を特性方程式という。
解説
　もとの漸化式が
　　ａn+1－α＝ｂ（ａn－α）
　の形になれば、ａn－α が等比数列になるので、まず、この形にすることを
　目指す。上式のカッコをはずして、
　　ａn+1＝ｂａn－ｂα＋α
　係数を比較して、
　　ｃ＝－ｂα＋α
　　α＝ｂα＋ｃ
　となり、αは方程式　ｘ＝ｂｘ＋ｃ　の解となる。
　つまり、特性方程式の解を、もとの漸化式の両辺から引くと、等比数列を導ける。

上の説明から特性方程式から求めているが、指数形は、

a n+1/3^n+1 =(2/3)(a n/3^n) +1 と両辺を割って階差をとるのが普通！

No.2 回答者： Zincer 回答日時： 2017/12/18 19:53

3^(n+1)

という解釈で良いですね。
両辺から、「３×3^(n+1)」を引くと
左辺
a[n+1]-３×3^(n+1)
＝a[n+1]-3^｛(n+1)＋1｝
右辺
2a[n]+3^(n+1）-３×3^(n+1)
＝2a[n]-２×3^(n+1)
＝2｛a[n]-3^(n+1)｝
になりますね。

この回答へのお礼

折角 解説を頂いたにも関わらず申し訳ないのですが、与式の右辺は3^(n+1)ではなく3^n +1 なんです…
それを踏まえた上でもう一度解説頂けませんか？

お礼日時：2017/12/18 20:32

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/12/19 00:19

両辺に -3^(n+1)+1 を加えればそのように変形できるよね.