互いに接する３つの円と共通接線の問題です

図のように３つの円が接しています。共通接線が2本ひいてあります。このとき、弧ABの長さと弧ＢＣの長さが等しくなることを証明しなさい。という問題です。まったくわかりません。方針だけでも教えて頂ければうれしいです。

No.2 回答者： m-jiro 回答日時： 2018/02/07 23:47

#1殿へ

>　これは線EBをFBに傾けたものに等しいのでEBとFBは点Bで交わる事になります。
角度が等しいというだけで交点がBであるとは言えないと思いますが。

御説のようにFBとEOはBで交わるのですがその証明が出来ない。
もうひとつ　IDとFBの交点からBまでの長さと、BAの長さが一致します(ということはBCとも一致)。
この証明でも良いのですがこれもできない。
IDとACの成す角が a－b になりますが交点が大円の外になるので使えません。

小生もこの質問が投稿されて以降ずっと考えていますが解けません。気になって寝覚めが良くない。
何とかならんでしょうか？

No.1 回答者： jyuguritto 回答日時： 2018/02/07 00:15

証明の仕方が不得手なのですが、参考になれば。

3本の補助線を引いています。
ACに平行な円心Oを通るGHと、ACの中点MとOを通る円の直径、Dからの垂線です。
図のように∠a,∠bとします。
円周点Bと線BEが円上で交わる事を求めます。
弦と円周角の関係を使うと、∠JDIと∠FBEが等しくなります。
これは線EBをFBに傾けたものに等しいのでEBとFBは点Bで交わる事になります。
図でEBはACの中点、円心Oを通るので△ABCは二等辺三角形になります。
したがって、弦AB、ACは同じ長さとなり、円弧AB＝ACになります。