数学ⅠAの問題です。 不等式√3sinθ-cosθ-1≧0 (0°≦θ≦180°)の解は ○○○°≦

数学ⅠAの問題です。
不等式√3sinθ-cosθ-1≧0 (0°≦θ≦180°)の解は
○○○°≦θ≦○○○°である。
(先頭の○でも0が入る可能性がある。)

解き方、答えがわかりません。
数学ⅠAなので三角関数の合成は使えないですよね？

回答よろしくお願いします！

No.4 回答者： ji6 回答日時： 2018/02/12 11:44

マーク式の入試であれば、0°,30°,45°,…の表で調べるのが良さそうです。

記述式であれば,下の方の様に。
また、合成は高校で習う範囲なので用いても大丈夫だと思います。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
表に当てはめて調べてみます！

お礼日時：2018/02/13 20:09

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2018/02/11 01:57

∴ cos(θ+60°)≦ーcos60°=cos(180ー60°)=cos120°

∴ 60≦θ120°

→∴ cos(θ+60°)≦ーcos60°=cos(180ー60°)=cos120° …(1)
ここで、0≦θ≦180°より ,60°≦θ+60°≦240°から
(1)を満たすのは、120°≦θ+60°≦240° ∴ 60°≦θ≦180° …Ans

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
参考になりました！

お礼日時：2018/02/13 20:06

No.2 回答者： metabolian 回答日時： 2018/02/11 01:36

√3sinθ-cosθ-1≧0

⇒ √3sinθ≧cosθ+1
辺々2乗すると、3(sinθ)^2≧(cosθ+1)^2
(sinθ)^2=1-(cosθ)^2より、
3{1-(cosθ)^2}≧(cosθ+1)^2 … ①
cosθ=tとおくと、0°≦θ≦180°のとき、-1≦t≦1 …②
式①を整理すると、
3{1-t^2}≧(t+1)^2
3-3t^2 ≧ t^2+2t+1
-4t^2 -2t +2≧0
((-2)で割る) 2t^2 +t -1≦0 ※不等号の向きが変わる

左辺は因数分解ができて、(t+1)(2t-1)≦0 ∴ -1≦t≦1/2

y=cosθ(0°≦θ≦180°)のグラフをイメージすると、
cosθ=1/2のとき、θは最小値 60°、
cosθ=-1のとき、θは最大値 180°をとる。

よって、 60°≦θ≦180°（答）

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
私もこの解き方で解いたのですが、
勝手に辺々を2乗していいのか迷っていたんです！
参考になりました！

お礼日時：2018/02/13 20:04

No.1 回答者： sc348253 回答日時： 2018/02/11 01:28

加法定理はいいですか？

両辺を2で割れば、
sinθ・(√3/2)ーcosθ・(1/2)≧1/2
ここで、sinx=√3/2 ,cosx=1/2
を解けば、x=60° よって、
sinθ・sin60°ーcosθ・cos60°=ーcos(θ+60°)≧cos60°
∴ cos(θ+60°)≦ーcos60°=cos(180ー60°)=cos120°
∴ 60≦θ120°

sinの加法定理でしても良いが、
cosの方が、0から180°の間は、一意的に決まるので、cosを選択しました！

この回答へのお礼

解答ありがとうございました。
参考になりました！

お礼日時：2018/02/13 20:01