「夫を成功」へ導く妻の秘訣 座談会

物理の問題がどうしても解けません。

長さlの糸先に質量mのおもりをつけた振り子の支点が、質量の無視できるばね(ばね定数k)に付いている。振り子の支点Aは水平方向のみに動く。支点Aの座標を(x1,0)、おもりの座標を(x,y)とする。またばねの長さをx0とする。ξ=x1- x0と糸と鉛直線のなす角θを変数としてこの系のラグランジアン、ラグランジュ運動方程式をら求めよ、さらにそれを解いて基準振動を求めよ。

ラグランジアンに必要な運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの値をうまく取ることが出来ないです。教えて欲しいです。

「物理の問題がどうしても解けません。 長さ」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 回答ありがとうございます。
    ラグランジュの運動方程式を用いてξとθを用いた式が2つ出せたのですが、「基準振動」の意味がわかりません。連立させてξだけの式とθだけの式に直してあげればいいのでしょうか?

      補足日時:2018/02/19 21:56

A 回答 (4件)

え~と、いきなり運動方程式にするより、まずエネルギーで近似した方が楽でしょう。


1-cosθ≒θ^2/2、sinθ≒θ を使い、ξ、v、θ、ω の3次以上の積になっている
項は、小さいだろうからということで捨てます(^^;

するとUはξとθ、Tはvとωの所謂「2次形式」 になる筈ですが
これは調和振動を意味します。

まずここまでやって、微分方程式変換してから、微分方程式の教科書を
見るのが良いでしょう。

基準振動を求めるだけなら、ξゃθについて完全に解く必要は有りません。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございます!

なんとか値が出ました。助かりました!

お礼日時:2018/02/20 12:44

>「基準振動」の意味がわかりません。


2階の線形微分方程式の基本に戻りましょう。
方程式を2個の調和振動子に分解したときの
それぞれの固有振動を「基準振動」といいます。
    • good
    • 0

dξdt=v


dθdt=ω
とすると

U=(1/2)kξ^2+(1-cosθ)mgl
T=(1/2)m{(v+lωcosθ)^2+(lωsinθ)^2}

解析力学やるなら、こんな超簡単な系のエネルギーは
瞬殺で導けないと後が無茶苦茶厳しいですよ。

まず基本を身に付けましょう。
    • good
    • 0

普通にx1,x,yとその時間微分でポテンシャルエネルギーと運動エネルギーを表し、それをξ,θとその時間微分で表せばよいでしょう。


x0やlが出てきますが、それらは定数なのであっても問題ありません。
    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q水平方向に固定されていない単振子

物理が苦手で困ってます。お助けいただければ幸いです。

質量mの質点をつないだ、長さL 固有振動数ω0 の単振子を考える。ただし、その支点は水平方向に固定されておらず、水平方向の位置座標は外部から見てx0(t)と与えられるものとする。
単振子の振れの角度θ(t)に対して|θ(t)|<< 1 が成り立ち、最下部で0、反時計回りを正にとる。重力加速度をg とする。

(1)ω0を求めよ。

(2)単振子の振れ角θ(t)が満たす運動方程式が次式であることを示せ。
     (d^2/dt^2)θ + (ω0^2) θ = -(d^2/dt^2)x0^2/L



             ←→x0(t)
ーーーーー・ーーーーー→X
               |
               ||      
               | |
               |θ|                 
               |   |
               |    |
               ↓     ●

Aベストアンサー

(1) 単振り子の公式どおり √(g/L)
(2) 地道に解けば出てきます。

v=d(x0)/dt, ω=dθ/dt とすると

運動エネルギーは T=(1/2)mv^2 + (1/2)mLω^2 + mvLcosθω
ポテンシャルエネルギーは U= mgL(1-cosθ)
ラグランジアン L= T-U

として d(∂L/∂ω)/dt - ∂L/∂θ = 0 で、sinθ≒θ, cosθ≒1
とすれば (2) が導出できます。

Q単振り子の問題

長さL軽い糸の先に、質量mのおもりのついた単振り子があり、最下点において水平に速度vを与える。重力加速度g、空気の抵抗は無視する
(1)糸がたるまずに振動するためのvの条件を求めよ。
(2)糸がたるまずに回転運動するためのvの条件を求めよ。

全然わかりません。
特にたるまない条件ってところが
ヒントをください。
おねがいします。

Aベストアンサー

こんにちは。

それではヒントをお教えしますね。

運動方程式を立てるときに、糸の張力Tも考慮してくださいね。

糸がたるまないとして運動方程式を立てます。

そうすると、糸の張力Tは、物体から振り子の支点に向かう方向に糸に沿って働きますよね。これがないと、物体はまっすぐ落下してしまうことになります。

運動方程式を解けば、Tの値も求まるわけですが、糸がたるまないときに、そのTが正の値になります。

Tが負の値になったとしたら、糸の張力が負になることは当然有り得ませんから、糸がたるまないとした仮定が成り立っていない状況です。

つまり、糸がたるまない条件は、数式で書くとT>0の条件です。
これに運動方程式を解いて求まったTの式を代入して考えればよいです。

Q振り子に働く減衰力について

今、長さlの棒の先に質量mの重りをつけた振り子がある(θは十分小さいとする)、という条件の下、摩擦力が存在しない場合のθに関する運動方程式(θ''+g/l・θ=0)とそれから導出される角周波数ω(ω=√g/l)は導出できたのですが、次の問題が分かりません。
(1)重りの運動速度vと質量mに比例する減衰力F=-γmvが加わった場合のθに関する運動方程式は?
(2)減衰力γが小さいとして最大振幅θmaxが初期値の半分になる時間は?
という問題です。分かる方がいましたら教えていただけないでしょうか?よろしくお願いします。

Aベストアンサー

なるほど、#1に紹介されているサイトは一度眼を通しておいたらよいでしょう。
それで、一般論はいいから、結局どうなの…が質問者の知りたいところではないでしょうか?…読んで考えればわかる。…確かに。でも参考になるよう、理解を深めるように答えてみます。

(1)減衰力がブレーキとなるのだから、θ'' + ω^2・θ= 0…(1)に対しv = l θ' なので、 mlθ'' + mγl θ' + mgθ= 0… (2) で θ'' + 2ζθ' + ω^2・θ= 0…(2)' となります。ここで、ζ= γ/2…(3)です。(2)'の特性方程式:t^2 + 2ζt + ω^2・t= 0…(2)''の解より(振動解なので)t = -ζ±iω√{1 - (ζ/ω)^2} ≒ -ζ±iω [∵減衰力γが小さいので1 - (ζ/ω)^2≒ 1] …(4)。t = 0 のとき θ = θmaxとして、(2)' の解:θ = θmax・e^(-ζt)cosωt…(5)。求める時間をTとして、e^(-ζT) = 1/2…(6)[最大振幅θmaxが初期値の半分になる時間は、減衰力γが小さいのでよい近似でenvelope:包絡線を考える。] よって、T ≒ ln2/ζ= 2ln2/γ…(6)。こんなとこかな、後はよく検討して下さい。

なるほど、#1に紹介されているサイトは一度眼を通しておいたらよいでしょう。
それで、一般論はいいから、結局どうなの…が質問者の知りたいところではないでしょうか?…読んで考えればわかる。…確かに。でも参考になるよう、理解を深めるように答えてみます。

(1)減衰力がブレーキとなるのだから、θ'' + ω^2・θ= 0…(1)に対しv = l θ' なので、 mlθ'' + mγl θ' + mgθ= 0… (2) で θ'' + 2ζθ' + ω^2・θ= 0…(2)' となります。ここで、ζ= γ/2…(3)です。(2)'の特性方程式:t^2 + 2ζt + ω^2・t= 0…(2)''の解より(...続きを読む


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング