多変数関数の問題。 (x. y.z )空間内の(x.z )平面内の放物線z=x^2を、頂点(0.0.

多変数関数の問題。

(x. y.z )空間内の(x.z )平面内の放物線z=x^2を、頂点(0.0.0)が(x.y)平面上の直線y=ｰx上にあるように平行移動して出来る曲面を表す２変数関数を求めよ。
この問題を解くことが出来ません。教えてくれませんか。あと現在多変数関数の分野でつまづいていて、教科書を読んでもよくわかりません。そこで本を買おうと思うのですが、おすすめはありませんか？また、大学の数学でつまずいたときの対処方も出来れば知りたいです。

質問者からの補足コメント

• 回答をありがとうございます。y=kで切った平面の曲線はz=x^2ではないのですか？

    補足日時：2018/02/28 20:06

No.4 回答者： think2nd 回答日時： 2018/03/01 22:55

問題そのものが、不明瞭ですよね。

　xz平面内の放物線z=x^2　として放物線を表記していますが　問題文ではy軸に関しては不問になっていますよね。

　xz平面に引っ付いた放物線だけを移動対象にしているなら、放物線は
　　z=x^2かつy=0…(1)とすべきです。この放物線なら頂点は(0,0,0)です。
　しかし　z=x^2かつyは任意…(2)とするとこの曲面は、いわば一枚の画用紙の両端をそれぞれ左右の手で持って両手を近づけた時、画用紙が曲がるような曲面に近い形になりますが、果たしてそれを、放物線というのでしょうか。それは調べてみてください。
　この(2)の場合平面y=kと(2)の切断面が放物線で頂点が(0,k,0)の放物線です。
　はて?　問題は(1),(2)のどちらでしょか?

　例えば(1)の放物線をターゲットにすれば高校生でできます。
　(1)をx軸方向にa平行移動するとy軸方向に-aだけ平行移動しますz軸方向は移動しても不変です(羽生結弦選手が両手でUの形で氷上をまっすぐ滑っても頭の高さは不変という意味です。)　だから高校で習った理論でz=(x-a)^2かつy=ｰa…(3)に移ります。これが平面y=-aに乗った放物線の方程式です。
　あれれ　おかしい　これじゃ2変数曲面じゃないよ。
2変数関数を見つけろってんじゃ
上の(2)がターゲットなのか???な
　　なら(3)のaを任意にすればいいんだからz=(x-a)^2に代入して
　　2次曲面関数はz=(x+y)^2
になるかな。
　いずれにしても　後味悪いよ。
　おすすめは本よりthinkです。

No.3 回答者： uyama33 回答日時： 2018/03/01 00:16

(x. y.z )空間内の(x.z )平面内の放物線z=x^2

とは、｛(x,y,z)|(x,y,z)=(x,0,x^2)｝となっている点の集合です。
もちろん頂点（座標(0,0,0)）もそのひとつです。
この頂点(0.0.0)が(x.y)平面上の直線y=ｰx上にあるように平行移動したときに、
頂点は(x.y)平面上の直線y=ｰx上の点（m,-m,0）に移ります。
原点（頂点の元の位置）から新しい頂点に向かうベクトルを考えると
その成分は（m,-m,0）であり、全体が平行移動されるのですから
元の放物線上の点(x,0,x^2)は、座標が(x,0,x^2)+(m,-m,0)＝(x+m,-m,x^2)
という点に移ります。
この座標の点が曲面を構成するのですから、座標の関係が分かれば
曲面の方程式が分かります。
曲面上の点の座標を大文字(X,Y,Z)とおくと
X＝x+m,Y＝-m,Ｚ＝x^2
X-ｍ＝Ｘ+Ｙ＝x,
Ｚ＝x^2＝(Ｘ+Ｙ)^2
そこで、関係式
Ｚ＝(Ｘ+Ｙ)^2
が曲面の方程式。

普通は図を描いて考えればもっと簡単に出ると思います。

本ですが、
多変数関数と書いてあるのは、複素多変数関数の本が多いと思います。
間違えて買うとさっぱり分からない。ということになりますので注意して下さい。

大学の数学でつまずいたときの対処方
１．最初に戻って、前書きから読み直し。
２．難しすぎたら、やさしい本や必要な予備知識の本を読む。
３．ノートに書き写して、自分の知識から見て明白ではない部分は、他の本で証明を見つけて補足する。
４．分からない原因が本の記述の誤りにあるなら、著者に修正案と知らせて誤りを訂正させる。

数学の本には間違いが多いので、
宝探しのつもりで間違いを探してみてください。
例えば
積分方程式論、吉田耕作、岩波全書は
1ページから129ページの間で、間違いは30箇所
そのうち大きな間違いは2箇所

この回答へのお礼

分かりやすい回答をありがとうございます。あれから考えたのですが、数１の復習が必要ですか？平行移動は数１で出てきますから。

お礼日時：2018/03/04 20:07

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/02/28 23:50

平面 y=k と考えている曲線の交線は z=x^2 ではありません. その平面上での放物線の頂点は (-k, k, 0) ですよ.

No.1 回答者： diff3356 回答日時： 2018/02/28 18:29

あらたにできた空間内の曲面を、平面 y=k で切ったときにできる、この平面内での曲線は、

z=(x+k)^2
ですから問題の曲面を表す方程式は結局、z=(x+y)^2.
となります。
後半のご質問については、同内容のテキストを一冊ずつ確認しご自分に合ったものを選んでください。解説の詳しさ、問題の数などで洋書のほうがよいかもしれません。