慣性モーメントを求める問題がわかりません．．．

次の問題に全く歯が立ちません．どなたか力学に精通されてる方がいらっしゃいましたらお力をお貸しください．問題は以下のようになっております．

図のように，質量mの8個の小球が，質量の無視できる一辺 L の立方体の頂点に固定されている。このとき，頂点 A，Bを通る軸まわりの慣性モーメントはいくつになるか．

答えは，6mL^2になるようなのですが導出する方法が全くわかりません．どなたかお力添えいただけますと幸いです．

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2018/03/04 11:11

「頂点 A，Bを通る軸まわり」なので、A, B は慣性モーメントには関係しません。

あとは、AB を軸とした各質点（６個）の慣性モーメントを求めて、その「総和」が求める慣性モーメントです。
（連続した剛体なら「体積積分」が必要ですが、離散した質点の集まりなので総和をとればよいのです）

質点の慣性モーメントは、腕の長さを ｒ として
　I = mr^2
ですから、各々の質点の「腕の長さ」を求めれば、各質点の慣性モーメントが求まります。

対角線ABからの距離は、
・L が2点（A, B のすぐ裏の2点）
・L/√2 が2点（手前の面のA, B 以外の2点）
・[√(3/2) ]L が2点（A, B とは側面の対角にある2点）
なので、慣性モーメントは
　I1 = mL^2 が2点
　I2 = mL^2 /2 が2点
　I3 = (3/2)mL^2 が2点
となり、その合計は
　mL^2 * 2 + (mL^2 /2) * 2 + ((3/2)mL^2) * 2 = 6mL^2
になります。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/03/05 11:28

線分と点との距離は外積を知っていると簡単にだせます。

図の奥向きがy、図の右方向がx、図の上方何がzとすると
線分ABと左奥上の点(P)との距離dは

d=|ベクトルAB X ベクトルAP| / |ベクトルAB|

AB=(1,1,0)
AP=(0,1,1)

AB×AP=(1,-1,1) → |AB X AP|=√3
|AB|=√2
d=√(3/2)

座標値がわかれば機械的に計算できるのでおすすめ。

この回答へのお礼

返事が遅くなりまして申し訳ありません．
いつもお世話になっています．この方法は知りませんでした！補助的なご回答ありがとうございました！

お礼日時：2018/03/10 02:04

No.1 回答者： han-ka-2 回答日時： 2018/03/04 11:05

回転軸長が，手前左上と手前右下が L/√2，右上奥と左下奥が L，左上奥と右下奥が √(3/2) L なので，それぞれの二乗和なので答えにたどり着きました。

合ってるかな？うぅーん・・・

この回答へのお礼

返事が遅くなりまして申し訳ありません．
他の方の解答を見ると，どうやらその考え方であっているようです！ご協力ありがとうございました！

お礼日時：2018/03/10 02:02