図形の問題（中3数学）

中学校の図形の問題なのですが、どうやってもわかりません。
教えて頂けないでしょうか。

1辺の長さが15ｃｍの正三角形ABCの辺BC上に点Pをとる。
写真の図のように、正三角形ABCを頂点Aが点Pに重なるように折ったとき
折り目の線分をQRとする。

なお、△BPQ ∽ △CRP

問：BQ=8cm のとき、線分BPの長さをすべて求めなさい。

答え：3ｃｍ　，５ｃｍ

よろしくお願いいたします。

No.3 ベストアンサー 回答者： sasa-san 回答日時： 2018/03/05 16:55

△ABCは正三角形

AB=BC=AC=15
BQ=8

∠B=∠QPB より、∠BQP=∠RPC
また、∠B=∠C なのだから
△BPQ ∽ △CRP

これらを踏まえて、
BP=x とおくと、CP=15-x
CR=y とおくと、PR=AR=15-y
AQ=QP=15-BQ=7
相似から
BQ:BP:QP =CP:CR:PR
これに数値やx,yを代入すると
8:x:7 =15-x:y:15-y

この比の関係から
8(15-y)=7(15-x)
120-8y=105-7x
15=8y-7x　　…(1)
同じく比の関係から
8y=x(15-x)
これを(1)に代入すると
15=x(15-x)-7x
15=8x-x²
x²-8x+15=0
(x-3)(x-5)=0
x=3,5

したがって、
BPの長さは 3cm または 5cm となる。


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相似の関係から、相似比の式を用いて計算するだけのようですね。

この回答へのお礼

大変遅くなりましたが、アドバイスありがとうございました。
無事解決しました。

お礼日時：2018/10/08 19:14

No.2 回答者： jyuguritto 回答日時： 2018/03/05 14:35

参考に。

この回答へのお礼

大変遅くなりましたが、アドバイスありがとうございました。
無事解決できました。

お礼日時：2018/10/08 19:13

No.1 回答者： Toppo6 回答日時： 2018/03/05 04:26

△AQR∽△PQRよりAQ＝PQ＝7、AR＝PR

ここで、BP＝Xとおくと
△BPQ∽△CRPより
BQ：BP＝CP：CR
8：X＝(15－X)：CR
∴CR＝(15X－X^2)/8
また、BQ：PQ＝CP：RPより
8：7＝(15－X)：RP
∴RP＝(105－7X)/8

AC＝AR＋RC
＝PR＋RC＝15が成り立つので
(15X－X^2)/8＋(105－7X)/8＝15

∴X^2－8X＋15＝０

∴(X－3)(X－5)＝０

∴X＝3，5

すいません。この解法しか思い浮かばないですm(_ _)m

この回答へのお礼

大変遅くなりましたが、アドバイスありがとうございました。
無事、解決しました。

お礼日時：2018/10/08 19:12