数学1 背理法について

a,bが有理数のとき a+b√2=0ならばa=b=0 であることを証明せよ √2は無理数である

この問題で分からないところがあります(①と②とした)
以下大まかな解答
a+b√2=0であってb=0ではない 有理数a,bがあると仮定して①
√2=−a÷b と変形して 有理数の商は有理数であるから√2が無理数であることと矛盾する
したがってa,bが有理数であるとき、a+b√2=0ならばb=0
a+b√2=0であってb=0のときa=0であるから②
a,bが有理数のとき
a+b√2=0ならばa=b=0である

分からない所
①bだけ0ではないと仮定したのは何故ですか？
aもbも0ではないと仮定しなかった意味を教えて下さい
aもbも0ではないと仮定しても問題文よりどちらも有理数なのだから商は有理数になるはずだと思うのですが
②は文章の書き方についてです
a+b√2=0であってb=0のときa=0であるから
こんな風にガチガチに書かないと減点対象になりますか？
a+b√2=0であっての「であって」の意味がわかりません
b=0のときa+b√2=0となり a=0となる では駄目ですか？

回答よろしくお願いします

No.1 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/03/24 00:16

背理法としてはちょっと中途半端かな. 完全な背理法でいくなら, 結論である「a=b=0」の否定つまり

a ≠ 0 または b ≠ 0
を仮定することになる. この証明では
1. b ≠ 0
2. b = 0 かつ a ≠ 0
の 2つの場合にわけて, どちらにおいても矛盾することを示す... はずなんだけど, 1 はきちんとやってるけど 2 の方はちょっと手を抜いた感じだねぇ.

で本題に入るけど, まず上については「aもbも0ではないと仮定」すると, 場合分けがちょっと複雑になる. それよりは, この証明のように 2つにわけた方がきれいかな.

次に下ですが, 「b=0のときa+b√2=0となり」はおかしいです. この時点ではまだ a が 0 かどうかはわかっていないのだから, 「a+b√2=0とな」るかどうかはわかりませんよ.

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
とっても助けになりました。
もしよければ、2の完璧な証明を教えてくれませんか？
b=0 かつ aは0以外の証明です。
ちなみに私の書いた解答は青チャートの解答例とされたものです。

お礼日時：2018/03/24 00:39

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/03/24 01:38

たぶん難しく考えすぎ. 単純に

b = 0 かつ a ≠ 0 と仮定すると a + b√2 = a ≠ 0 だから a+b√2=0 に矛盾する
でいい.

あと蛇足かもしれないけど補足しておくと, 場合分けというのは
もれなく重複なく
が原則. そのため, 「a ≠ 0 または b ≠ 0」という条件に対して「aもbも0ではない」つまり「a ≠ 0 かつ b ≠ 0」を 1つの場合に挙げてしまうと, 残る条件は
a と b の一方が 0 で他方は 0 でない
つまり
「a = 0 かつ b ≠ 0」または「a ≠ 0 かつ b = 0」
になっちゃう. ということで, 実質 3通りに分けることになる.

もちろんそれでもいいけどこの命題についていえば「b ≠ 0」のときは a が 0 であっても 0 でなくても同じように矛盾を導き出せるから, b ≠ 0 とその他 (a ≠ 0 かつ b = 0) の 2通りにわけてるんだと思う.

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2018/03/24 02:26