No.1ベストアンサー
- 回答日時:
aはa>1を満たす定数とする. (1)xが不等式2≦a^x+a^−x≦8を満たすときa^xの取りうる範囲及びxの取りうる範囲
(2)xが(1)で求めた範囲を満たし、xとyが
0≦(logay)+x≦loga2を満たすとき、yの最大値と最小値
この問題は、二つの点で、トリッキーな問題です。問題文が明解でなく、誤解しやすい点があります。
(1)
a^x=z_①
と置くと,z>0だから
2≦z+1/z≦8_②
z+1/z≦8よりz^2+1≦8z
z^2−8z+1≦0,(z−4)^2−15≦0
4−√15≦z≦4+√15_③
4−√15≒0.127,4+√15≒7.87,(4−√15)(4+√15)=1
二つの限界値は互いに逆数になっている。不等式②のもう一方の側は
2≦z+1/zより2z≦z^2+1
z^2+1−2z≧0,(z−1)^2≧0_④
となり、成立している。③④は⑤⑥に分けられる。⑥は⑦と同じだから
1≦z≦4+√15_⑤
4−√15≦z≦1_⑥
1≦1/z≦4+√15_⑦
⑤と⑥の領域では、zと1/zが互いに入れ替わり、条件式②は変化しない。⑤からはxの範囲は
0≦x≦loga(4+√15) _⑧
となるが、⑥の範囲ではx<0となるが、xと−xを入れ替えても, 条件式②は変化しないので、xの取りうる範囲は
−loga(4+√15)≦x≦loga(4+√15)_⑨
となる。
(2)
a>1のとき、問題文から⑩である。
0≦(logay)+x≦loga2_⑩
⑩の各辺の指数関数を取ると、
1≦y・a^x≦2_⑪
各辺をa^xで割ると
a^(−x)≦y≦2 a^(−x)_⑫
ここでxがある定数であれば
⑫を満たすとき、yの最大値と最小値は
最大値y=2 a^(−x)=2/z_⑬
最小値y= a^(−x)=1/z_⑭
xが⑨の変域の変数であれば、1/zの最大値は⑦より4+√15であるから、yの最大値は2/z =8+2√15
1/zの最小値は1で、yの最小値は1である。
ここでは、一応、答えは⑬⑭としておく。
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