【大学受験物理】円錐面での小球の運動の問題

Question

画像の問題なのですが、、アは、重力と垂直抗力だと、すぐ分かったのですが、問題は イ と、最後の小球が糸に与える力積の大きさというところが？です。
小球が静止する直前の速さを v とすると、(  イ )という関係式が成り立つというところですが、
これは、力積と運動量のことを考えて、また、糸の方向も考えて、
F⊿t = 0 - mv  より、小球が糸に与える力積の大きさは、絶対値で考えて、mv ということでいいのでしょうか？
どなたかお詳しい方、お助けください。

yhr2 · Accepted Answer

No.1です。「補足」の問題の続きを見ました。
やはり、「イ」は No.1 でよさそうですね。

「ウ」は、力積なので F*Δt ですが、「力積の大きさ」と言っているので符号は関係なく、「イ」の v を使って
　 |F*Δt| = |0 - mv| = |mv|
= m * √[2gS*cos(2θ)]
なので
ウ：m√[2gS*cos(2θ)]
でしょう。要するに「イ」で、既知の量から v を求めてあることがポイントです。

次の V は「周速度」ということなのでしょう。遠心力は、半径
　r = S*sin(2θ)
を使って
　f = mV^2 /[ S*sin(2θ) ]　　←エ

水平方向の力のつり合いは
　f = T*sin(θ) - N*cos(2θ)　　←オ

鉛直方向の力のつり合いは
　mg = T*cos(θ) + N*sin(2θ)　　←カ

速さ V を大きくすると「遠心力が大きくなり」　　←キ

小球が円錐面を離れるのは N=0 のときなので、カから
　T = [ mg - N*sin(2θ) ]/cos(θ) 
をオに代入して、
　f = sin(θ)[ mg - N*sin(2θ) ]/cos(θ) - N*cos(2θ)

これがエに等しいので
　mV^2 /[ S*sin(2θ) ] = sin(θ)[ mg - N*sin(2θ) ]/cos(θ) - N*cos(2θ)

これを N について整理すると
　N*sin(2θ)*sin(θ)/cos(θ) - N*cos(2θ) = mg*sin(θ)/cos(θ) - mV^2 /[ S*sin(2θ) ]

N=0 となるのは
　mg*sin(θ)/cos(θ) - mV^2 /[ S*sin(2θ) ] = 0
より
　V^2 = g*S*sin(2θ)sin(θ)/cos(θ)
ここで
　sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)
であるから
　V^2 = 2g*S*sin^2(θ)
よって
　V = (√2gS)sin(θ)　　←ク

出題者の意図や、どんな答を期待しているのかを「推測」しないと答が書けない問題ですが（ある種の悪問）、こんなものでしょうか。

syotao · Answer

小球が糸に与える力積の向きと小球が静止する直前の速度の向きが角θなので
力積は　mvcosθ　になります。

yhr2 · Answer

問題が途中で切れていますね。
「『イ』だけなら、ここまでの文章で十分だろう」とお考えかもしれませんが、そうではないのですよ。
これからどういう論理を展開するためにこの文章が書かれているのか、ということまで見通して判断すべきことがらです。
つまり、どういうことを論じたいので「イ」の式を持ち出しているのか、という「文脈」が必要不可欠なのです。

そういう「論理的な文脈」というとらえ方をしないと、これからも「木を見て森を見ず」になりかねませんから、注意した方がよいですよ。

これだけの範囲で考えれば、エネルギー保存則から v がどのように表せるか、ということを聞いているように思えます。

S だけ滑り落ちたとすれば、「高さ」の差は
　H = S*cos(2θ)
従って、その位置エネルギー差は
　Ep = mgH = mgS*cos(2θ)
これが運動エネルギーに変わるので
　Ek = (1/2)mv^2 = Ep 
より
　v^2 = 2gS*cos(2θ)
より
　v = √[2gS*cos(2θ)]

向きは円錐斜面下方向です。

ほとんど「謎解き質問」ですが、これでよいのかどうかは、問題の続きを掲載してもらって判断します。

【大学受験物理】円錐面での小球の運動の問題

小球が糸に与える力積の向きと小球が静止する直前の速度の向きが角θなので

No.1です。

問題が途中で切れていますね。

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