半径aの車輪の円周上にある一点は、車輪が水平面を滑らずに一定の角速度ωで転がると
 x=a(ωt-sinωt)、y=a(1-cosωt)
であらわされる(この曲線はサイクロイド)
     ・ ・         ・・  ・・
速度=(x,y)と加速度=( x , y )
それぞれの大きさを求めよ。
  
2a↑Y
  |    \
  |角度ωt・
  |     |
  |     |
 0---------------------→
  |~aωt~」             2πa 


解る方お教えください、せつめいがあると嬉しいです

A 回答 (1件)

x,y が t の関数として具体的に与えられているのですから,


速度と加速度の定義の式に代入して単純な微分計算をするだけです.
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この回答へのお礼

微分だけで良かったんですか・・・
難しく考えすぎていたみたいです

お礼日時:2001/07/15 20:59

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Q物理の速度、加速度計算

物理 速度と加速度の計算について
画像の値を使い、速度と加速度を求めたいです。速度vの一つ目のマス(青丸のところ)を求めるとすると
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自信がなくて質問しました。

Aベストアンサー

 No.2です。No.3さんの回答を見て、ピンと来ました。

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 この「実験結果記入シート」を作った先生は、ちょっと残念ですね。

Qある回路にv=100sinωt(v)の電圧を加えたところi=50sin(ωt-π/6)(A)の電流が

ある回路にv=100sinωt(v)の電圧を加えたところi=50sin(ωt-π/6)(A)の電流が流れた
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インピーダンスの絶対値は2と言うのはすぐに解ります。
電流はwtに対してn/6進んでいることもわかります。
wとnの実数を用いれば、P、S、cosθが解ります。

Q衝撃加速度の計算方法について、物理・工学的な見地から御教示いただきたく御願いします

回答は計算方法等を明示のうえ、誤りを具体的に御指摘願います。
特に係数等の適否について御教示いただければと思います。
下記の計算式では、追突車両が300トン以上になっても、衝撃加速度は2.09G以上にはならないため、時速8km/hの追突では追突車両の重量によらず、衝撃加速度は約2Gとなり、不自然に思います。係数を固定にすることに原因があるのでしょうか。
私としては、追突車両が乗用車と大型車では、反発係数や衝突時間の係数を変えなければならないと思いますが、どこに誤りがあるのでしょうか。
計算式(被追突車両の運転席の乗員者が追突車両から受ける衝撃加速度)
a2 ={(1+e)*V10}/{t*(1+W2/W1)*3.6}=9.6/0.51=18.8m/s2= 1.92G
a2=被追突車の受ける衝撃加速度
V10=追突車の衝突速度 = 8km/h
W1=追突車両総重量 = 12,000kgf
W2=被追突車両総重量 = 1,040kgf
e=反発係数=0.20
G=重力加速度=9.8m/s2
t=衝突時間= 0.13
3.6=速度km/hをm/sに変換する係数

回答は計算方法等を明示のうえ、誤りを具体的に御指摘願います。
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下記の計算式では、追突車両が300トン以上になっても、衝撃加速度は2.09G以上にはならないため、時速8km/hの追突では追突車両の重量によらず、衝撃加速度は約2Gとなり、不自然に思います。係数を固定にすることに原因があるのでしょうか。
私としては、追突車両が乗用車と大型車では、反発係数や衝突時間の係数を変えなければならないと思いますが、どこに誤りがあるのでしょう...続きを読む

Aベストアンサー

被追突車両は、追突前は静止していると考えます。

 そうであれば、まずの基本は、追突後の速度を V12, V22 として
(1)運動量保存
   W1 * V10 + W2 * 0 = W1 * V12 + W2 * V22    (A)
(2)相対速度の比=反発係数
   V12 - V22 = -0.20 * (V10 - 0)           (B)
から、V12, V22 を求めることです。

 ちなみに蛇足ですが、W1, W2 の単位は「kg」であって「kgf」ではありません。「kgf」は「質量」ではなく「力」の単位です。(1 kgf = 9.8 N)

 重力加速度G=9.8m/s^2を使うなら、速度の単位は m/s に統一します。つまり
 V10 = 8 km/h ≒ 2.22 m/s

これより
  12000*V10 = 26640 = 12000*V12 + 1040*V22  
  V12 - V22 = -0.20 * 2.22 = -0.444
よって
  V12 ≒ 2.01 (m/s)
  V22 ≒ 2.45 (m/s)

 つまり、被追突車両は、追突によって
  静止状態 → 2.45 (m/s)
に加速されたことになります。この「衝突時間」が「 0.13 s 」であれば、平均の加速度は
  2.45 (m/s) / 0.13 (s) ≒ 18.8 (m/s^2)
です。

 ということで、質問者さんの計算結果に間違いはないと思います。


 以上の計算を、追突車両の質量 W1 を「300 ton = 3.0 × 10^5 kg」に変更すれば、運動量保存の式(A)は
  3.0 × 10^5 * V10 = 6.66 × 10^5 (kg・m) = 3.0 × 10^5 * V12 + 1040*V22
となりますから、相対速度の式
  V12 - V22 = -0.20 * 2.22 = -0.444
との連立式を解いて
  V12 ≒ 2.21 (m/s)
  V22 ≒ 2.65 (m/s)
ということです。「衝突時間」が「 0.13 s 」であれば、平均の加速度は
  2.65 (m/s) / 0.13 (s) ≒ 20.4 (m/s^2) ≒ 2.08G
です。
  
 これまた、質問者さんの計算結果に間違いはないと思います。

 それは、計算間違いではなく、「反発係数 0.20 」とする限りは、(B)式から分かるとおり、V22(被追突車両の速度)が 1.20*V10 = 2.66 (m/s) を上回ることはないからです。(V12 = V10 のときに V22 が最大になる。V12 > V10 となることはあり得ない)

 もし仮に、「反発係数 1.0 」(完全弾性衝突)としても、V22(被追突車両の速度)の最大値は 2 * V10 です。
 座標軸を変えて、衝突車両側に座標の原点をとり、被追突車両が動いて衝突したことを考えると、最大でも「逆向きの同じ大きさの速さで跳ね返る」ということですから。(地面に対する完全弾性のボールを考えれば分かる通り、ボールが衝突前の速さ以上の速さで跳ね返ることはない)

 これに対して、追突車両の速度が大きくなり、かつ「衝突時間」が短くなれば、衝撃は大きくなるでしょう。

被追突車両は、追突前は静止していると考えます。

 そうであれば、まずの基本は、追突後の速度を V12, V22 として
(1)運動量保存
   W1 * V10 + W2 * 0 = W1 * V12 + W2 * V22    (A)
(2)相対速度の比=反発係数
   V12 - V22 = -0.20 * (V10 - 0)           (B)
から、V12, V22 を求めることです。

 ちなみに蛇足ですが、W1, W2 の単位は「kg」であって「kgf」ではありません。「kgf」は「質量」ではなく「力」の単位です。(1 kgf = 9.8 N)

 重力加速度G=9.8m/s^2を使うなら...続きを読む

Q物理です x^2+y^2<=1 x>=0 y>=0で与えられる重心を 求める問題で重心のx座標を

物理です
x^2+y^2<=1 x>=0 y>=0で与えられる重心を
求める問題で重心のx座標を
1/S∮(0→1)x√1-x^2となっているのですが
なぜこうなるのかがよく分かりません
解説お願いします

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重心は、任意の点の周りのモーメントを考えたときに、「微小部分の重量のモーメントの総和=全重量が重心位置にある場合のモーメント」となる点です。

 与えられたのは、半径 1 の 1/4 円の扇型です。その「微小部分」を、x座標を x ~ x+dx の「縦割り」部分にすると、面積は「高さ」が √(1 - x) 、幅が dx ですから
 ΔS = √(1 - x)*dx
です。
 この部分原点回りのモーメントの「腕の長さ」は x ですから、物理的な「力」を考えるために密度を ρ として、モーメントは
  ρ*xΔS = ρ*x√(1 - x)*dx
です。従って、「微小部分の重量のモーメントの総和」は
  ∫[0~1] ρ*x√(1 - x) dx    (1)
です。

 これに対して、「全重量が重心位置にある場合のモーメント」は、重心の x 座標を x0 とすると
  ρ*S*x0     (2)

(1)と(2)が等しくなるので
  ρ*S*x0 = ∫[0~1] ρ*x√(1 - x) dx

 従って
  x0 = (1/S)∫[0~1] x√(1 - x) dx

 S は 1/4 円なので
   S=(1/4)パイr^2 = パイ/4
ですね。

重心は、任意の点の周りのモーメントを考えたときに、「微小部分の重量のモーメントの総和=全重量が重心位置にある場合のモーメント」となる点です。

 与えられたのは、半径 1 の 1/4 円の扇型です。その「微小部分」を、x座標を x ~ x+dx の「縦割り」部分にすると、面積は「高さ」が √(1 - x) 、幅が dx ですから
 ΔS = √(1 - x)*dx
です。
 この部分原点回りのモーメントの「腕の長さ」は x ですから、物理的な「力」を考えるために密度を ρ として、モーメントは
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です。従っ...続きを読む

Qシリンダーの加速時間を考えた計算の式の意味がわかりません。 (1)の最大速度と、加速度の計算式は公式

シリンダーの加速時間を考えた計算の式の意味がわかりません。
(1)の最大速度と、加速度の計算式は公式ですか?
この式になる理由を教えてください。

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そもそも何を説明しようとしているものなのか、このページの「前段」の話がないとチンプンカンプンです。

おそらく、(1)の最大速度
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のような計算をしているのだと思いますが、グラフの中身や記載されているものの意味が分からないと、何とも言えません。

Qxy平面上において、x軸上の2点x=aおよびx=-aのそれぞれに点電荷

xy平面上において、x軸上の2点x=aおよびx=-aのそれぞれに点電荷qが置かれている。
このときy軸上で電界が最大値をとる位置を求めよ。
解:y=±a/√2

さっぱり分からないので教えてください。お願いします。

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こんにちは。
数日前もお会いしましたか。

x=a にある電荷の名称をA、
x=-a にある電荷の名称をB
と置きます。
そして、
仮に置く電荷をZと名づけ、その座標を(x,y)、電荷の大きさをQとします。

AとZとの間に働く力Fa→の絶対値は、クーロンの法則により
|Fa→| = kqQ ÷ (AとZの距離)^2
ここでAの座標は(a,0)なので、三平方の定理により
(AとZの距離)^2 = (x-a)^2 + (y-0)^2
 = (x-a)^2 + y^2
よって、
|Fa→| = kqQ/{(x-a)^2 + y^2}
しかし、これではFaの大きさはわかっても、方向がわかりません。
ですから、大きさが1のベクトル(単位ベクトル)をかけます。
とりあえず、Fa→ に平行なベクトルは、成分表示で
(x-a,y)
と表すことができます。
単位ベクトルにするには、それ自身の絶対値で割ればよいです。
Fa方向の単位ベクトル = (x-a,y)/√{(x-a)^2 + y^2)}

以上のことから
Fa→ = kqQ/{(x-a)^2 + y^2}・(x-a,y)/√{(x-a)^2 + y^2)}
 = (x-a,y)・kqQ/{(x-a)^2 + y^2}^(3/2)
これのY成分は、
Fa→のY成分 = y・kqQ/{(x-a)^2 + y^2}^(3/2)

Bについても同様に、
Fb→のY成分 = y・kqQ/{(x+a)^2 + y^2}^(3/2)

F→のY成分の合計は、
F→のY成分 = Fa→のY成分 - Fb→のY成分
 = y・kqQ/{(x-a)^2 + y^2}^(3/2) + y・kqQ/{(x+a)^2 + y^2}^(3/2)
電界はFをQで割ったものなので、
E→ = y・kq/{(x-a)^2 + y^2}^(3/2) + y・kq/{(x+a)^2 + y^2}^(3/2)


Y軸上なので、x=0
E→のY成分 = y・kq/{(0-a)^2 + y^2}^(3/2) + y・kq/{(ー+a)^2 + y^2}^(3/2)
 = y・kq/{a^2 + y^2}^(3/2) + y・kq/{a^2 + y^2}^(3/2)
 = 2kqy/{a^2 + y^2}^(3/2)

このままだと後が面倒なので、2乗します。
(E→のY成分)^2/(2kq)^2 = y^2/{a^2 + y^2}^3
これが極値であるには、これをyで微分したものがゼロ。

d/dy・{y^2・{a^2 + y^2}^(-3)}
 = 2y・{a^2+y^2}^(-3) + y^2・2y・(-3)・(a^2+y^2)^(-4)
 = [2y・(a^2+y^2) - 6y^3](a^2+y^2)^(-4)
 = 2y[(a^2+y^2) - 3y^2](a^2+y^2)^(-4)
 = 2y(a^2 - 2y^2)(a^2+y^2)^(-4)
 = 2y(a^2 - 2y^2)/(a^2+y^2)^4

よって、E→のY成分が極値を取るとき
y=0   または、  a^2 - 2y^2 = 0
このうち、y=0 は、|E→|の大きさが0になる場所(極小)なので、NG。
残るのは、a^2 - 2y^2 = 0 です。
y^2 = a^2/2
y = ±a/√2

こんにちは。
数日前もお会いしましたか。

x=a にある電荷の名称をA、
x=-a にある電荷の名称をB
と置きます。
そして、
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AとZとの間に働く力Fa→の絶対値は、クーロンの法則により
|Fa→| = kqQ ÷ (AとZの距離)^2
ここでAの座標は(a,0)なので、三平方の定理により
(AとZの距離)^2 = (x-a)^2 + (y-0)^2
 = (x-a)^2 + y^2
よって、
|Fa→| = kqQ/{(x...続きを読む

Q変化する加速度の計算の仕方

ある交通シミュレータを使ってパラメータを調整しているのですが、実際にどれくらい減速していくのか分からず困っています。

速度22.2m/s(時速80km/h)で走っている車があります。
ある地点0から-1m/s2で減速していき、徐々に減速が大きくなり、100m進んだ時点では-2m/s2で減速します。
0地点から100mの間は一定に加速度が減っていきます。
(つまり50mの地点では-1.5m/s2、10mの地点では-1.1m/s2となる。)
100mの時点で速度はいくつになるのでしょうか。

等加速度運動ならば簡単なのですが加速が変化していくとどう計算したらよいか分かりません。
どなたかご教授よろしくお願いします。

Aベストアンサー

加速度が位置の関数になるので、次の微分方程式を解くことになります。

 d^2x/dt^2=-1-x/100

この解は x(0)=0, dx(0)/dt=22.2 を初期値として解くと

 x(t)=222sin(t/10)+100(cos(t/10)-1)

で、x(5.406)≒100となります。速度は上の式を時間で微分したもので

 v(t)=22.2cos(t/10)-10sin(t/10)

となるので t=5.406 s を代入すると 13.887 m/s となります。

Q単振動の解x(t)=Asin(ωt+φ)において、次の①②を満たす解を求めよ。 ①初期条件x(0)=

単振動の解x(t)=Asin(ωt+φ)において、次の①②を満たす解を求めよ。
①初期条件x(0)=x0、x°(0)=0 (x(t)=dx(t)/dt)

②初期条件x(0)=0、x°(0)=v0

これの途中式と答えを教えて下さい。
お願いします。

Aベストアンサー

x° は時間微分ということですね? x°(t)≡dx/dt ということ。

だとすると、何が分からないのですか? 「微分」が分からないということ?
x(t)=Asin(ωt+φ)
ならば
dx/dt = Aωcos(ωt+φ)
ということは分かりますよね?

問題は「解を求めよ」ですが、「初期条件の値を求めよ」ということでしょうか。
そうであれば
① x(0) = Asin(φ) = x0

 x°(0) = Aωcos(φ) = 0
 → φ= [ (2n+1)/2 ]パイ (n:任意の整数)
このとき sin(φ) = 1 または -1
よって
 x0 = ±A

② x(0) = Asin(φ) = 0
 → φ=nパイ (n:任意の整数)
 x°(0) = Aωcos(φ) = v0
  φ=nパイ (n:任意の整数)なので cos(φ)=1 または -1
よって
 v0 = ±Aω

Q重力加速度 9.8m/s^2 は、計算値?

.
重力加速度 9.8m/s^2 は、計算値ですか?
または、計測値で、どうしてその値になるか分からないのですか?
また、重力の様に引き合う力ばかりで、反発するちから(斥力)が
存在しないのも、分かっているのですか?

宜しくお願いします。
.

Aベストアンサー

皆さんがおっしゃるように、実測値を基にした値です。

> どうしてその値になるか分からないのですか?

万有引力定数の値をより根源的な原理から計算できるのか否か? という問いですね。現在のところ、できていないようです。我々には宇宙に4つの力(電磁力、弱い相互作用、強い相互作用、重力)があるように見えているのですが、これらは一つの原理で説明できる筈だと考えられています。最初の二つ(電磁力、弱い相互作用)を統一的に説明する理論は数十年前に完成しており、さらに強い相互作用まで統一的に説明できるようになりつつあると聞いた覚えがあります。しかし、重力まで統一的に説明できるようになるのは、まだ先でしょう。重力まで統一的に説明できる完全理論が完成すれば、その理論に基づいて万有引力定数の値を計算することができるようになるでしょう。

> 斥力が存在しないのも、分かっているのですか?

分かっていません。アインシュタインは、重力によって宇宙が自己崩壊しないのは長距離(銀河団間距離以上)で効いてくる斥力(アインシュタインの宇宙項)があるためであると説明しました。初期のビッグバン理論では宇宙項が否定されていましたが、現在は必ずしも否定しきれないとされているようです。

ま、宇宙項は人類の手に負えるものではないので、ロケットには応用できないでしょうが。

皆さんがおっしゃるように、実測値を基にした値です。

> どうしてその値になるか分からないのですか?

万有引力定数の値をより根源的な原理から計算できるのか否か? という問いですね。現在のところ、できていないようです。我々には宇宙に4つの力(電磁力、弱い相互作用、強い相互作用、重力)があるように見えているのですが、これらは一つの原理で説明できる筈だと考えられています。最初の二つ(電磁力、弱い相互作用)を統一的に説明する理論は数十年前に完成しており、さらに強い相互作用まで統一...続きを読む

Q微分方程式の問題です。x''=a*x*cos(ωt)

微分方程式の問題です。x''=a*x*cos(ωt)
初めて質問させて頂きます。

a、ωは定数、x=x(t)として、2階の微分方程式x''=a*x*cos(ωt)が解けません。
初期条件をx(0)=x0, x'(0)=vx0としたとき、これには解析的な解はあるのでしょうか?

私なりに考えたのは、
x''=x*exp(iωt)
と拡張、s=exp(iωt)と変数変換 (x=x(s))して、
s*x''+x'+(a/ω^2)*x=0
s*x''+x'+k*x=0 (k=(a/w^2)と置く)
とし、最後は級数展開という方法...ですが自信がありません。

元の方程式が(見た目は)シンプルですので、もしかしたら解析的な解をご存知の方が
いらっしゃるかもしれないと思い質問させて頂いた次第です。

私は物理屋ですので、なるべく純粋数学的な表現は避けて頂けると幸いです。

よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

あまり参考にならないかも知れませんが・・・、
x''=a*x*cos(ωt)
Mathieuの微分方程式が連想されます。

Mathieuの微分方程式、Mathieu関数辺りで調べられてみては如何でしょうか?


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