はさみうち

極限を調べるときにはさみうちという方法があるらしいのですが、正しい方法なんでしょうか
例えばf,g,hはℝからℝへの関数で
任意のx∈ℝでg(x)<f(x)<h(x)とlim(x→a)g(x)=lim(x→a)h(x)=αが成り立つ
たったこれだけの条件からlim(x→a)f(x)=αだとなぜいえるのでしょうか
同じようにf,g,hはℝからℝへの関数で
任意のx∈ℝでg(x)<f(x)<h(x)とlim(x→∞)g(x)=lim(x→∞)h(x)=βが成り立つ
このときlim(x→∞)f(x)=βというのも反例がないことが証明されているのでしょうか

No.1 回答者： springside 回答日時： 2018/05/03 12:26

はさみうちの原理は正しい方法ですが、それが正しいことを数学的に厳密に証明するためには、大学の数学が必要です（高校数学では無理）。

例えば、「解析入門Ⅰ」（杉浦光夫著、東京大学出版会）［p.16に数列の場合の例が載っている］など、大学の教科書を読むしかありません。
なお、そのような極限がからむ証明の常套手段ですが、少なくとも、ε-δ論法を知っていないと話になりません。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
数列の場合の質問していません
「はさみうちの原理は正しい方法ですが」といっていますが、正しいことの証明を見たことがありません
ε-δ論法を知っていれば証明できるようなことを書いていますが、実際に証明を見ないと信用できません
回答者様がε-δ論法を知っているのなら、証明を教えていただけないでしょうか
回答者様がε-δ論法を知らないのなら、ε-δ論法を知っていればはさみうちの原理が正しいことを証明できる、とはいえないはずです

お礼日時：2018/05/03 13:11

No.2 回答者： springside 回答日時： 2018/05/03 14:06

ε-δ論法は十分に知っていますし、はさみうちの原理の証明も知っていますが、あなたに信用してほしい訳では全然ないし、あなたのためにわざわざこの掲示板で書いてあげるのは面倒なので、書きません。

（そもそも、あなたがε-δ論法をどの程度正確に、かつ、十分に理解しているかどうかも判らないし）
あなた自身が、大学の解析の教科書で自分で勉強して下さい。そんなに難しい話ではありません。

前の回答で数列の例が載っていると書いたのは、あなたが言っている関数の場合も、数列におけるはさみうちの原理の証明と本質的には同一だからです。

この回答へのお礼

はさみうちの原理が正しいのを証明することを、質問者の疑問解決という視点で見ていないようですね
つまり、あなたは回答者の立場で発言していない
わざわざ掲示板で書くのが面倒なら、最初から回答しなければいいじゃないですか
あなたは杉浦光夫氏の解析入門Ⅰを「平易で初心者向け」と書いていますね
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/10458139.html

そういうことを平気で書く人の数学力というのは、だいたい察しがつきますよ

お礼日時：2018/05/03 16:22

No.3 ベストアンサー 回答者： uyama33 回答日時： 2018/05/04 00:15

任意のx∈ℝでg(x)<f(x)<h(x)とlim(x→a)g(x)=lim(x→a)h(x)=αが成り立つ

たったこれだけの条件からlim(x→a)f(x)=αだとなぜいえるのでしょうか

高校生でも、数学が好きな生徒は解析概論（高木貞治）を読んでいるので、
ε-δ論法は高校生でも理解できると思う。

１．lim(x→a)f(x)=α
の意味ですが、任意のε＞０を選んだとき、そのεに対してδ＞０が存在して
｜x-a｜<δ、x≠a　　ならば　｜f(x)-a｜<ε　となる。
としましょう。等号のことは省略。

２．この否定は、
ある ε_1 ＞０ が存在して、その ε_1 に対してはどのようなδ＞０を選んでも
｜x-a｜<δ、x≠a　　なのに　｜f(x)-a｜＞＝ε_1　となるようなｘが存在する。

３、２で見つかった ε_1 を選んだときに
lim(x→a)g(x)=lim(x→a)h(x)=α
との条件から
ε_2 = (ε_1)/4
に対して、δ_2 ＞０が存在して
｜x-a｜<δ_2、x≠a　　ならば　｜g(x)-a｜< ε_2　となる。
さらに、
δ_３ ＞０が存在して
｜x-a｜<δ_3、x≠a　　ならば　｜h(x)-a｜< ε_2　となる。

４．２でのδは任意に選べるので、δ＝min{δ_2 , δ_3}　と選ぶ。
このとき、
｜x-a｜<δ、x≠a　　ならば　｜g(x)-a｜< ε_2　となる。
｜x-a｜<δ、x≠a　　ならば　｜h(x)-a｜< ε_2　となる
が成立するが、
この条件を満たすｘで
｜x-a｜<δ、x≠a　　なのに　｜f(x)-a｜＞＝　ε_1　＝　4*ε_2
となるものがある。これを　x_0 とする。

５．任意のx∈ℝでg(x)<f(x)<h(x)　が成立するので
もちろん、g(x_0)<f(x_0)<h(x_0) も成立する。

６．｜g(x)-a｜< ε_2 と　｜h(x)-a｜< ε_2 より
a - ε_2 < g(x_0)＜f(x_0)<h(x_0)< a + ε_2
となり
a - ε_2 < f(x_0)< a + ε_2
よって
- ε_2 < f(x_0)-a < ε_2
よって
|f(x_0)-a| < ε_2
となるが、
｜f(x_0)-a｜＞＝　ε_1　＝　4*ε_2　＞　ε_2
となり、矛盾する。

よって、２が成立しない。よって、１が成立する。

書き間違えがあるかもしれないが、あったら指摘して下さい。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
書いてくださった証明に現れる「a」の大多数が「α」だとは思いますが、ていねいなのでよく理解できました
はさみうちという方法はただただ胡散臭いとずっと思っていましたが、おかげで認識が変わりそうです
この証明をヒントにlim(x→∞)f(x)=βは自分でやってみます
大学の数学科学生でもε-δ論法は最初面食らうそうですが、高校生でも理解できる人がいるのですか
数学力ってしみじみ、上を見ても下を見てもキリがないんですね

お礼日時：2018/05/04 01:42