微分方程式です。 両辺にyをかける、とありますが どこから出てきたのでしょうか？ 積分因子らしいので

微分方程式です。
両辺にyをかける、とありますが
どこから出てきたのでしょうか？
積分因子らしいのですが求まりません。
先生の解説も分からず困ってます。
教えてください。

質問者からの補足コメント

• 写真が見にくくてすみません。

    補足日時：2018/06/19 09:48

No.1 回答者： fef 回答日時： 2018/06/19 12:10

微分方程式が完全型であるためには，M_y = N_x でなければなりませんね．

しかし，ノートに書かれているように，与えられた式のままではこの条件を満たしていません．
それではどうすればこの条件を満たすようになるでしょうか．
両辺に適当な関数 f(x, y) を乗ずることで条件を満たすようにできないでしょうか．

それを考えた結果として，y を両辺に乗ずるという操作が出てきます．

まあ，これくらいは試行錯誤で求めればよいと思いますが，
f = x^m y^n とおいて上記の条件を満たす m, n を探すという方法もあります．
（ただし，この方法でいつでも求まるわけではありません．
　より一般的に使用可能な方法もありますが，実用性を考えればこの辺りが妥当なラインでしょう．）

微分方程式の両辺に x^m y^n を乗ずれば，新しい微分方程式の M, N に当たる部分は
　M = x^m y^{n+1},
　N = 2 x^{m+1} y^n + 4 x^m y^{n+2}
となりますね．
すると，
　M_y = (n + 1) x^m y^n,
　N_x = 2 (m + 1) x^m y^n + 4 m x^{m-1} y^{n+2}
ですから，条件 M_y = N_x が成り立つためには
　n + 1 = 2 (m + 1),
　4 m = 0,
すなわち
　m = 0,　n = 1
でなければならないとわかります．
こうして f(x, y) = y を積分因子として見つけることができるわけです．