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r=(x,y.z),|r|=√x^2+y^2+z^2 のとき

∇r
∇f(r)

の解法を教えて下さい。

A 回答 (8件)

No.5です。

No.7の投稿者は、「rはベクトルなので、∇rは定義されないように思います。」と書いているが、すでにNo.5に書いたように、ベクトルrとベクトル演算子∇の内積は通常
∇r=divr=∇(x,y,z)=(∂x/∂x,∂y/∂y,∂z /∂z)= (1,1,1)
となる。ベクトル場rの発散である。
間違った情報を書かないように願いたい。
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rはベクトルなので、∇rは定義されないように思います。


そこで、∇|r|としました。
∇|r|=(x/|r|,y/|r|,z/|r|)
∇f(r)=( f’(r) x/|r|, f’(r) y/|r|, f’(r) z/|r|)
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n=-2なら


∇(1/|r|) =-2(1/|r|^3)(1,1,1)かな?
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この質問がダメな理由はf(r)が与えられていないことです。


写し間違えだと仮定して、よくある問題はf(r)=log|r|、またはf(r)=|r|^nです(nは正または負の整数)。これならば、下記のような回答が可能です。この場合は、rはベクトルだから∇rは発散∇r=div rを計算し、f(r)はスカラーだから、勾配∇f(r)=grad f(r)を計算します。

r=(x, y. z),|r|=√(x^2+y^2+z^2)のとき∇r,∇f(r)を計算せよ。
(1) ∇r=∇(x,y,z)=(∂x/∂x,∂y/∂y,∂z /∂z)= (1,1,1)
(2) f(r)=log|r|の場合
∇f(r) =∇log|r|=(∂log|r|/∂x,∂log|r|/∂y,∂log|r|/∂z)
=(1/|r|)(∂|r|/∂x,∂|r|/∂y,∂|r|/∂z)
=(1/|r|^2)( x,y,z) =( x,y,z)/(x^2+y^2+z^2)
(3) f(r)=|r|^nの場合
∇f(r) =∇|r|^n = n|r|^(n-1)(∂|r|/∂x,∂|r|/∂y,∂|r|/∂z)
= n|r|^(n-2)(∂x/∂x,∂y/∂y,∂z/∂z)
= n|r|^(n-2)(1,1,1)
n=-1なら、∇(1/|r|) =-(1/|r|^2)(1,1,1)

質問するときは問題文の要素を書き落とさないようにして下さい。
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よく考えたらこれ問題自体がおかしいな.



r というベクトルに対する「∇r」ってどう定義してるんだろう. 「∇・r」とか「∇×r」とかなら意味があるんだけど....
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失礼、方程式でなくとも、解くとは言いますね。

でも、問題文にはなってないので、どちらにせよ解けませんよ
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解法も何も方程式でないので解けないと思いますが

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定義に基づいて計算する.

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この回答へのお礼

それの計算法を教えて頂きたいのですが…

お礼日時:2018/07/02 16:06

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