r=(x,y.z),|r|=√x^2+y^2+z^2 のとき ∇r ∇f(r) の解法を教えて下さい

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質問者：じるふぃ
質問日時：2018/07/02 15:42
回答数：8件

r=(x,y.z),|r|=√x^2+y^2+z^2　のとき

∇r
∇f(r)

の解法を教えて下さい。

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回答 (8件)

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No.8ベストアンサー

回答者： majimelon37
回答日時：2018/07/10 18:34

No.5です。

No.7の投稿者は、「rはベクトルなので、∇rは定義されないように思います。」と書いているが、すでにNo.5に書いたように、ベクトルrとベクトル演算子∇の内積は通常
∇r=divｒ=∇(x，y，z)=(∂x/∂x，∂y/∂y，∂z /∂z)= (1，1，1)
となる。ベクトル場rの発散である。
間違った情報を書かないように願いたい。

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No.7

回答者： afilter
回答日時：2018/07/10 15:06

rはベクトルなので、∇rは定義されないように思います。

そこで、∇|r|としました。
∇|r|=(x/|r|,y/|r|,z/|r|)
∇f(r)=( f’(r) x/|r|, f’(r) y/|r|, f’(r) z/|r|)

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No.6

回答者： jyo-ji39
回答日時：2018/07/08 23:22

ｎ=-2なら

∇(1/|r|) =－２(1/|r|^３)(1，1，1)かな？

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No.5

回答者： majimelon37
回答日時：2018/07/03 02:41

この質問がダメな理由はｆ(r)が与えられていないことです。

写し間違えだと仮定して、よくある問題はf(r)＝log|r|、またはf(r)＝|r|^nです(nは正または負の整数)。これならば、下記のような回答が可能です。この場合は、rはベクトルだから∇rは発散∇r=div rを計算し、f(r)はスカラーだから、勾配∇f(r)=grad f(r)を計算します。

r=(x, y. z),|r|=√(x^2+y^2+z^2)のとき∇r，∇f(r)を計算せよ。
(1) ∇r=∇(x，y，z)=(∂x/∂x，∂y/∂y，∂z /∂z)= (1，1，1)
(2) f(r)=log|r|の場合
∇f(r) =∇log|r|=(∂log|r|/∂x，∂log|r|/∂y，∂log|r|/∂z)
=(1/|r|)(∂|r|/∂x，∂|r|/∂y，∂|r|/∂z)
=(1/|r|^2)( x，y，z) =( x，y，z)/(x^2+y^2+z^2)
(3) f(r)=|r|^nの場合
∇f(r) =∇|r|^n = n|r|^(n－1)(∂|r|/∂x，∂|r|/∂y，∂|r|/∂z)
= n|r|^(n－2)(∂x/∂x，∂y/∂y，∂z/∂z)
= n|r|^(n－2)(1，1，1)
n=－1なら、∇(1/|r|) =－(1/|r|^2)(1，1，1)

質問するときは問題文の要素を書き落とさないようにして下さい。