ここからどう導けばいいのかわかりません。 ご指導お願いします。

ここからどう導けばいいのかわかりません。
ご指導お願いします。

質問者からの補足コメント

• できればノートに書いてくださると助かります。

    補足日時：2018/07/06 18:16

No.1 ベストアンサー 回答者： jtpgmwta 回答日時： 2018/07/06 18:11

2×2^n-3k-3+1

これを仮定した
2^k-3k-1>0を利用して
2^k+(2^k-3k-1)-1
2^kはk>=4より
2^k+(2^k-3k-1)-1>0
よって2^(k+1)>3(k+1)+1
なので4以上のkにおいて与式は成り立つ。
ですかね、高校生の知識なので参考までに

No.3 回答者： tekcycle 回答日時： 2018/07/06 18:32

必要ならあなたがノートに書き直して下さい。

念のため。
ｘ＾ａ
というのは、ｘのａ乗という意味です。

目で見て数学が身に付くとは思わない方が良い。英語辺りとは違います。
手を動かすこと、失敗すること、痛い目に遭うこと。
スポーツだって同じでしょ？
何度も失敗して、それを繰り返して、ようやくできるようになる。
だからこうして解いてみて、解けない、失敗した、というのは、それ自体は非常に良いことだと思います。でも、失敗が全然足りない、踏み込み不足です。
綺麗に解くことばかり考えないこと。もっと盛大に失敗しましょう。それも数多く。

No.2 回答者： tekcycle 回答日時： 2018/07/06 18:15

質問をしたらしばらく(2週間くらい)開けておくこと。

で、さっきの問題。
ここから先、どうするんだろう、と思わず手を止めてしまいますよね。判らない、と。
そう、判らないんです。判らないから、手を動かして確かめなければならないんです。
だからまず、ｎ＝ｋ＋１のときにどうなるか、

　「　具　　体　　的　　に　　書　　き　　出　　し　　て　　み　　る　」

んです。
書き出してみてから、ｎ＝ｋの時と比べる、よく観察してみる、法則を探る、ｎ＝ｋの場合の等式を代入してみる、等々、色々な手段を

　「　試　　行　　錯　　誤　　し　　て　　み　　る　」

んです。
一発で解答に辿り着けるなどと考えないこと。
参考書問題集の解答解説を見ると、さも一発で辿り着いた、閃いた、そんな「解法がある」ように見えますが、概ね違います。
試行錯誤してみた、その試行や錯誤のところが解答に書かれて無いだけのことです。
あなたも書きませんよね？色々とやってみた、上手く行かない方法がいくつもあったけれど、上手く行った、正解が導けた、その時に、上手く行かなかった方法を解答に書きませんよね？

そういうわけで、どうするんだろうどうするんだろうと手を止めるんじゃ無いんです。
何だか解法がぁでもありません。まぁ何かの解法はあるかも無いかもしれませんが。

では試行してみましょう。
ｎ＝ｋのとき、
２－{(ｎ＋２)／２^n}＝２－{(ｋ＋２)／２^ｋ}
ｎ＝ｋ＋１のとき、
２－{(ｎ＋２)／２^n}＝２－{(ｋ＋３)／２^(ｋ＋１)}
～～／２^ｋと～～／２^(ｋ＋１)とあるので、この分母をまず揃えてやりましょうか。
２^ｋ＝(１／２)×２^(ｋ＋１)
∴(ｋ＋２)／２^ｋ
＝２・(ｋ＋２)／２^(ｋ＋１)
＝(２ｋ＋４)／２^(ｋ＋１)
まずはこの辺りのカラクリに気付いたでしょうか？
じゃぁｎ＝ｋ＋１のときからｎ＝ｋのときの右辺を引いてみましょう。何となく。試行ですから錯誤したっていい、とにかく手を動かしてみる。
[２－{(ｋ＋３)／２^(ｋ＋１)}]－[２－{(２ｋ＋４)／２^(ｋ＋１)}]
＝{(２ｋ＋４)／２^(ｋ＋１)}－{(ｋ＋３)／２^(ｋ＋１)}
＝[{(２ｋ＋４)－(ｋ＋３)}／２^(ｋ＋１)]
=(ｋ＋1)／２^(ｋ＋１)

一方、左辺について、ｎ＝ｋ＋１のときからｎ＝ｋのときを引いてみると、
(ｋ＋1)／２^(ｋ＋１)
ですよね。
１／２＋２／４＋・・・・(ｎ)／２^(ｎ)＝２－{(ｎ＋２)／２^(ｎ)}
の両辺に
(ｎ＋１)／２^(ｎ＋１)
を加えると、
１／２＋２／４＋・・・・(ｎ)／２^(ｎ)＋(ｎ＋１)／２^(ｎ＋１)
＝２－[{(ｎ＋１)＋２}／２^(ｎ＋１)]
となる、と証明できた。

ということは、２－{(ｎ＋２)／２^(ｎ)}にそのまんま(ｎ＋１)／２^(ｎ＋１)を加えても、２－[{(ｎ＋１)＋２}／２^(ｎ＋１)]が導けたのでした。
まぁしかし、そうじゃ無い方が帰納法の演習としては汎用性があるでしょう。
それでもね、解らない解らないと手を止めるくらいなら、その計算にチャレンジしてみれば良かった、試行してみれば良かったのです。

そういうわけで、まずは解らないから解けなかったのでは無く、解らないから
「怖くて手を止めてしまった」
ために解けなかったのではないでしょうか。
「試行錯誤」
「具体的に書き出してみる」
「手を動かしてみる」
というのが実は解法なのです。
いくら解答をコレクションしてみても、この辺りが身に付かなければ力も付かないのです。
解答コレクションで力が付くなら、問題集の問題と解答を眺めていれば、ここで質問する必要は無いはずですし。